代数多様体の無限系列の研究

2014 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 23540050
• 研究機関: 広島大学
• 研究代表者: 高橋 宣能 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (60301298)
• 研究期間 (年度): 2011-04-28 – 2016-03-31
• キーワード: カンドル / 代数的整数環 / 遠アーベル幾何 / 対称空間 / 等質空間 / 彩色

研究実績の概要

今年度は、研究目的の「一つの代数多様体に付随する多様体の系列の研究」に関連して、いわゆる数論的曲線からあるカンドルを定め、そのカンドルからもとの数論的曲線を復元するという問題を考察した。
カンドルとは、二項演算により定まるある種の代数系であり、結び目や絡み目の不変量に関連して多くの研究がなされている。特に、結び目の同値類は、対応する「結び目カンドル」によって定まることが知られている。一方、数論的な状況において、数論的基本群から多様体を復元する問題は、「遠アーベル幾何学」として多くの研究がなされている。
さらに、結び目と素数の間には様々な類似性が観察されている。そこで今年度の研究では、いわゆる数論的曲線、すなわち代数体の整数環のスペクトラムの開集合について、結び目カンドルの類似を定めた。これは、各有限次ガロア被覆に対して、フロベニウス写像を用いてカンドル構造を定義し、その射影極限として得られる位相カンドルである。結び目補空間の中のループの類似物として、素数の集合を考える。これについて、まず、ガロア群との関係などの基本的な一般論を調べた。また、有理数体または二次体の整数環のスペクトラムから一点を除いたものについて、基本群のアーベル化が無限群であり、ループに対応する素数の集合が密度1である場合に、かなりの部分をカンドルから復元できることを証明した。証明はp進数の超越性に関する結果を用いるものであり、興味深い。なお、論文は現在準備中である。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

数論的な状況でのカンドルの応用という、新しい研究対象を発見することができたため。

今後の研究の推進方策

数論的曲線のカンドルからの復元を、より一般の場合に調べる。
また、カンドル多様体の局所理論、カンドル多様体による彩色空間の無限系列などについて詳細な研究を行う。

次年度使用額が生じた理由

招聘する研究者等が予定より少なく、また謝金の支出が無かったため。

次年度使用額の使用計画

応用や一般化のため、数論・結び目理論・微分幾何学の研究者との研究連絡に用いる。
また、最終年度であるため、研究成果の発表にも用いる。