| 研究概要 |
コンパクト複素多様体X からそれ自身への全射正則写像fが同型写像でないとき非同型な自己正則写像(endomorphism)という. 本研究の目的は, 非同型な自己正写像を持つコンパクト複素多様体の構造を, 複素多様体の分類論の視点から,出来る限り具体的に調べることである.それは楕円曲線,アーベル多様体,トーリック多様体を含むクラスであり非常に簡明な構造を持つと予想される. 本年度も,小平次元が負の非特異３次元射影代数多様体で非同型なエタール自己正則写像を持つ類の研究を継続した. 最大の難点は因子収縮型の端射線が無限個存在するような例が出現し,それらが写像の反復合成により保存されるとは限らないことである. 特に極小モデルプログラムが自己正則写像の範疇で機能する保障がない. そこで極小モデルプログラムを非同型な不分岐被覆の無限降下列を持つ代数多様体の範疇で機能させ, その構造を大雑把に解析した上で, 個別に個々の多様体Xの構造を調べるという方法を採用した. 因子収縮型の端射線を無限個持つ多様体は非常に限定され, ほとんどの場合に極小モデルプログラムは自己同型写像との合成の下,自己正則写像の範疇で機能することが判明した. 結果, Xの構造は相当解明された. 大雑把に述べると, Xの適当な有限エタール被覆X'が繊維曲面とブローアップと楕円曲線との蓄積に分解する場合と,そうでない場合とに分かれる. 後者は小平次元が負の場合に初めて出現し, 楕円曲線を中心とするブローアップの記述が非常に複雑である. これらの成果について口頭発表し, 論文にまとめている最中である.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非同型なエタール自己正則写像を持つ小平次元が負の多様体Xの手頃な実験台として, 楕円曲線上の射影束の上での, 楕円曲線に沿ってのブローアップの記述に大方, 成功した. 同様のアイデアが一般のXを調べる際にも適用できることが分かり, Xの大雑把な構造が浮かび上がってきた.
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