| 研究実績の概要 |
平均曲率流とは，部分多様体を各時刻において平均曲率ベクトルの方向に動かすことにより得られる「部分多様体の時間に依存する族」である．その研究の多くはユークリッド空間内の超曲面の場合に関するものであるが，余次元が高い時では，リッチ平坦ケーラー多様体（カラビ－ヤウ多様体）多様体におけるラグランジュ平均曲率流の有用性が期待されている．ユークリッド空間内の自己縮小,拡大解や平行移動解などのソリトン解は，平均曲率流の特異点の局所モデルとなるので重要な対象であるが，近年，Yamamotoは，これらのいくつかの構成方法をトーリック幾何の視点から一般化して，トーリック カラビ－ヤウ多様体における「一般化された」ラグランジュ平均曲率流の具体例を構成した．
研究代表者は，Yamamotoの構成法をトーリック幾何から切り離して，ラグランジュ平均曲率流のより一般的な構成法を確立した．すなわち，可換リー群がハミルトン的にカラビ－ヤウ多様体に作用しているときに，各点で軌道に直交する特殊ラグランジュ多様体を基にして，ラグランジュ平均曲率流の具体例をモーメント写像を用いて構成した．この構成法をユークリッド空間の場合に適当すると，自己縮小,拡大解や平行移動解が得られる．前者はAnciaux, Lee-Wangの例を再現したものであり，後者はCastro-Lermaの例の高次元への一般化である．さらに，４次元のリッチ平坦ALE空間に上記の構成方法を適用して，ラグランジュ平均曲率流を構成し，その性質を調べた．とくに，特異点の周りをスケール変換して現れる自己縮小解の構造をモーメント写像を用いて決定した．以上の結果は論文「Lagrangian Mean Curvature Flows and Moment Maps」として学術雑誌に投稿中である．（ arXive:1703.00090 として公表している．）
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