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2012 年度 実施状況報告書

正則写像のなす空間の位相と実特異点論のホモトピー論への応用の研究

研究課題

研究課題/領域番号 23540079
研究機関電気通信大学

研究代表者

山口 耕平  電気通信大学, 情報理工学(系)研究科, 教授 (00175655)

研究分担者 木田 雅成  電気通信大学, 情報理工学(系)研究科, 教授 (20272057)
大野 真裕  電気通信大学, 情報理工学(系)研究科, 准教授 (70277820)
山田 裕一  電気通信大学, 情報理工学(系)研究科, 准教授 (30303019)
島川 和久  岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (70109081)
キーワード実代数幾何学 / ホモトピー論 / 実射影空間 / 複素射影空間 / トーリック多様体 / derived category / 代数幾何学 / 手術
研究概要

(1)実代数的多様体Xから、(実あるいは複素)グラスマン多様体への連続写像fは、X上の任意のベクトル束が実代数的ベクトル束で近似できるとき、写像fのホモトピー類は多項式で表現される代数的写像(正則写像)を代表元にとれることが知られている。この結果の空間への拡張定理を、とくに、実(または複素)射影空間の場合に、M. Adamaszek氏(Univ. Warwick, England)とA. Kozlowski教授(Univ. warsaw, Poland)との共同研究で解明した。この結果は、Quart. J. Math. (2011)に発表した。さらに、この空間が写像の次数によってfiltrationがはいるが、その次数でどの次元まで近似できるか(Atiyah-Jones型原理)を計算できた。
(2)(1)で得られた結果を実射影空間から、滑らかなコンパクトな射影的トーリック多様体への拡張を試みた。こお部分的結果については、A. Kozlowski氏と電通大の大野真裕氏との共同研究で証明できた。この結果についての論文準備中である。さらに、関連する実トーリック多様体にも同様な結果が成り立たないかを研究した。
(3)異なる結び目から同じレンズ空間が得られる手術の組を研究し、関連する4次元多様体を考察した。
(4)昨年に引き続き、Derived categoryの研究を代数幾何学的側面から研究した。さあらに、代数幾何学的側面からトーリック多様体を研究した。
(5)Diffeorogyを研究し、関連する微分空間のカテゴリーにおける骨組みでのオモトピー論の構築の研究を行った。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

当初考えていたAtiyah-Jones型定理が実射影空間の間の写像空間の場合については、解明でき、すでにQuart. J. Math. (2011)に発表できたことで第1の目的は達成できた。さらに、この結果を利用して実射影空間の間の写像空間のホモトピー群の計算にも応用でき、これについても2012年度に、Math. J. Okayama Univ.に発表できた。またすでに前述のQ.J.M.の結果のうち、近似次元の改良にも、A. Kozlowski氏との共同研究で達成された。(これについても、Topology and its Appl. (2013)で発表される予定である。以上の理由により、おおむね順調に進展してると判断する。

今後の研究の推進方策

(1)引き続き、実代数的多様体(real algebraic variety)からグラスマン多様体への写像全体の空間をその間の代数的写像の作る部分空間でホモトピー論の立場から近似することを研究すること(いわゆるAtiyah-Jones型定理)を第1の目標とする。
(2)とくに、本年度は、(1)の問題に関連して、実射影空間から、滑らかなコンパクト射影的トーリック多様体への連続写像の成す写像空間の場合にも、(1)と同様なAtiyah-Jones型定理が成り立たないかを解明することを主目的に取り組む。そのために、研究分担者の大野先生と以前からのA.Kozlowski教授との共同研究で解明する予定である。

次年度の研究費の使用計画

該当なし

  • 研究成果

    (9件)

すべて 2013 2012 その他

すべて 雑誌論文 (5件) (うち査読あり 5件) 学会発表 (1件) 備考 (3件)

  • [雑誌論文] Simplicial resolutions and spaces of algebraic maps2013

    • 著者名/発表者名
      A. Kozlowski, K. Yamaguchi
    • 雑誌名

      Topology and its Appl.

      巻: 160 ページ: 87,-98

    • DOI

      101016/j.topol.2012.09.019

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Spaces of algebraic maps from real projective spaces into complex projective spaces2013

    • 著者名/発表者名
      A. Kozlowski, K. Yamaguchi
    • 雑誌名

      RIMS Kokyuroku Bessatsu (to appear)

      巻: 39 ページ: 51-61

    • DOI

      (to appear)

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Note on the homotopy of the space of maps between real projective spaces2012

    • 著者名/発表者名
      K. Yamaguchi
    • 雑誌名

      Math. J. Okayama Univ.

      巻: 54 ページ: 77-86

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On metacyclic extensions2012

    • 著者名/発表者名
      M. KIda
    • 雑誌名

      J. Theor. Nombres Bordeaux

      巻: 24 ページ: 339-353

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Four-dimensional manifolds constructed by lens space surgeries along torus knots2012

    • 著者名/発表者名
      M. Tange, Y. Yamada
    • 雑誌名

      J. Knot Theory Ramifications

      巻: 21 ページ: (65p)

    • DOI

      10.1142/S0218216512501118

    • 査読あり
  • [学会発表] Divide knots presentations of sporadic knots of Berge's lens space surgery

    • 著者名/発表者名
      山田裕一
    • 学会等名
      日本数学会
    • 発表場所
      九州大学大学院伊都キャンパス
  • [備考] 研究者プロフィール

    • URL

      http://kjk.office.uec.ac.jp/Profiles/0001/0000339/theses1.html

  • [備考] Kohhei Yamaguchiの紹介

    • URL

      http://matha.e-one.uec.ac.jp/~kohhei/yamaguchi_intro.html

  • [備考] 研究者プロフィール

    • URL

      http://kjk.office.uec.ac.jp/Profiles/0001/0000495/theses1.html

URL: 

公開日: 2014-07-24  

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