| 研究課題/領域番号 |
23540090
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
阿賀岡 芳夫 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (50192894)
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| 研究分担者 |
田丸 博士 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (50306982)
澁谷 一博 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00569832)
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| 研究期間 (年度) |
2011-04-28 – 2016-03-31
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| キーワード | リーマン多様体 / 等長埋め込み / ガウス方程式 / 可積分条件 / リー群 / 左不変計量 |
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| 研究実績の概要 |
今年度は主に左不変計量の与えられた低次元リー群の局所等長埋め込み問題について研究を行った。これは橋永貴弘氏との共同研究である。左不変計量の与えられた３次元リー群の中で、例えば３次元正定曲率空間や２次元双曲平面と R^1 の直積空間等は明らかに R^4 に超曲面として（局所的に）実現することができる。しかしそれら以外のリー群あるいは左不変計量については、超曲面として R^4 に実現できるか否かについては未知の事柄であった。今年度は主にこの問題に取り組み、ほぼ決定的な解を得るに至れた。
局所等長埋め込みは本質的に偏微分方程式の問題であり、ガウス方程式がその最初の可積分条件として現れる。私のこれまでの研究により、ガウス方程式が解を持つための様々な obstruction が発見されている。しかし、３次元リー群の場合にはこれら既知の条件を使うだけでは超曲面としての実現可能性は多くの場合判定不能であることがわかる。
そこでガウス方程式の次の段階（１階数だけ高いジェット空間）に現れる可積分条件について計算をすすめ、その結果ほぼすべての３次元リー群は超曲面としてユークリッド空間に実現できないことを示すことができた。
部分多様体の基本定理としてよく知られているように、リーマン多様体が局所的にユークリッド空間に超曲面として実現できるためには、ガウス方程式とコダッチ方程式を満たすことが必要かつ十分な条件である。しかし、これはリーマン多様体の各点に第２基本形式が与えられて初めて判定可能な条件であり、アブストラクトなリーマン多様体には適用できないものである。上記の「次の段階に現れる可積分条件」はこの困難を突破する判定法であり、今回得られた結果は３次元リー群という特別なケースではあるが、ガウス方程式を超えた判定法が有効に機能した初めての例を与えるものである。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
もともと平成２６年度は科研の最終年度であり、過去３年間の研究の集成を目指すべき年度であったのだが、１０月に広島大学で開催された日本数学会秋季総合分科会の大会委員長を仰せつかったため、年度の前半はほぼその任務に没頭することに終始してしまった。年度の後半に入り研究を再開することができ、「研究実績の概要」に記した研究を遂行することはできたが、最終年度の成果としては個人的に物足りないものを感じている。研究期間を１年間延長することが認められたので、残りの１年間で研究の集成を目指したい。
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| 今後の研究の推進方策 |
幾何学に現れる可積分条件については、表現論的な側面からの成果も含め、かなり理解が深まり、また具体的な計算例を与えることにも成功している。しかし、リーマン多様体の局所等長埋め込み問題については更に高い余次元における成果を得ることが望まれるし、平坦な幾何構造の存在性については不変式論的観点からのより深い考察が必要と思われる。研究集会等を通じて問題意識を共有する多分野の研究者と意見交換を行い、一連の研究の一里塚となる成果を得るべく努めたいと考えている。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
平成２６年９月に広島大学で開催された「日本数学会秋季総合分科会」の大会委員長の任務が予想以上に激務であり、２６年度前半は研究のための時間を確保することができなかった。学会終了後も、学会準備期間中に山積した仕事の処理に追われ、研究時間を確保するのが困難な状態が続いた。そのため、最終年度に予定していた研究実施計画を、１年遅らせて実施するしかない状況に至らざるを得なかった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
当初の計画通り、リーマン多様体の等長埋め込み問題、平坦な幾何構造が存在するための障害を求める研究を行う。そのために、内外の研究者との交流を深め、各種研究集会への参加・発表を行い、また研究を完成するために必要な備品類を購入する予定でいる。
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