| 研究課題/領域番号 |
23540115
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| 研究機関 | 福岡大学 |
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研究代表者 |
小田 信行 福岡大学, 理学部, 教授 (80112283)
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| 研究期間 (年度) |
2011-04-28 – 2015-03-31
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| キーワード | 幾何学 / トポロジー |
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| 研究概要 |
指数位相により定まる写像空間の位相に関しては，基点付位相空間の圏において，BBT 理論を研究し，本研究の理論が写像空間のホモトピー論及び同変空間の間の写像空間の理論に応用できることが示された．特に，基点付きの指数写像を用いることにより，基点に対する条件を付けずに関数空間のペアリングの理論が構築できることが示された．また，写像空間への群作用については，空間の新しいクラスを定義することによりそれらのクラスに属する群の作用が連続であることが得られた．さらに，極限と余極限の理論に対しても我々の理論を応用することができた．BBT積を用いて定義される位相空間のクラスの研究により，代数的位相幾何学を研究するための圏として，従来k-空間の圏として知られていた位相空間の圏よりも広い位相空間の圏を定義することができた．この圏は，k-空間の圏を含むので，従来のk-理論より優れた圏であることが期待されるが，BBT積を用いて定義される位相空間のクラスについて多くの結果が得られたが，さらなる検討課題も多く存在することが分かった．ホモトピー不変量に関しては，2次と3次の戸田積についていくつかの結果を得た．古典的な戸田積に関する戸田の公式の圏論的な証明も研究し，定式化が可能であることが確認された．さらに，懸垂空間に対して示されていた戸田の公式の拡張として，余ホップ空間およびホップ空間と戸田積との関係について新しい公式が得られた．その証明に用いられた手法が前行列戸田積および後行列戸田積の非決定因子の計算に有効であることが示されたことは大きな成果である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
次のような研究の成果が得られているので，研究は，順調に進展している．（１） 基点付位相空間の圏において，Brown-Booth-Tillotson の理論を応用してペアリングの理論が得られた． （２） 同変空間の間の写像空間への群作用に関する理論が得られた． （３） 代数的位相幾何学を研究するための圏として，従来知られていたk-空間の圏よりも広い位相空間の圏を定義することができた． （４） n-type の box bracket を定義し，そのホップ不変量の公式を研究し，ホップ不変量との関係を解明した． （５） 余ホップ空間およびホップ空間と戸田積との関係について新しい公式が得られた．（６）行列戸田積の非決定因子に関する新しい公式が得られた．（７） ３次結合等の高次結合について理論部分の整理が得られた． これらの内容について引き続き検討を行い論文を完成後投稿する予定である．
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| 今後の研究の推進方策 |
指数位相により定まる写像空間の位相は，ホモトピー論における双対性の研究に応用可能であるので，平嶋・小田により定義された指数写像を用いて双対性の研究を行う．box bracketのホップ不変量の計算を試み，box bracketの応用可能性を拡げる．３次結合等の高次結合について研究するには懸垂関手の存在が不可欠であるが，圏論的な定義を研究する．box bracket の双対の概念を一般コホモロジー論への応用を考慮して研究する．余ホップ空間と懸垂空間に関する我々の基礎研究が行列戸田積と箱積の非決定因子の計算にどのように有効であるを具体例により研究する．球面のホモトピー群における matrix Toda bracket と box bracket の興味深い例をいくつか決定することにより非決定因子の新しい公式の実際の有効性を確認する．
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| 次年度の研究費の使用計画 |
平成24年2月22日の出張旅費確定時において，次年度使用額 3,290円 が生じた．その時点でこの残額を次年度の物品費として使用するのが適切であると判断されたので平成24年度においてそのような使用計画を作成する．
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