| 研究課題/領域番号 |
23540141
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| 研究機関 | 高知大学 |
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研究代表者 |
小松 和志 高知大学, 自然科学系, 准教授 (00253336)
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| 研究分担者 |
秋山 茂樹 筑波大学, 数理物質科学研究科(系), 教授 (60212445)
後藤 了 東京理科大学, 薬学部, 教授 (50253232)
江居 宏美 弘前大学, 理工学研究科, 助教 (60333051)
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| キーワード | 準周期性 / タイリング |
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| 研究概要 |
平成２５年度は，特定の性質をもつタイリングを組織的に構成するために，研究の重点を構成法を調べることに置いた。平成２４年度には環状拡大と呼ばれる構成法を用いて，正三角形と正方形をプロトタイルにもつ６回回転対称性をもつ非周期ユークリッド平面タイリング，非周期双曲平面タイリングを構成したが，さらに一歩推し進めて，これらの際に用いた構成を制御する方法の適用範囲を広げることができた。階層的な有向グラフを用いた環状拡大の制御についてより考察を進めた結果である。プロトタイルのsubstitution ルールだけではなく，パッチのsubstitution ルールを用いて，準周期タイリングを組織的に構成することについてもより詳細を調べた。正三角形と正方形をプロトタイルにもつ準周期タイリングの非可算種類の族を構成するにいたっている。また，プロトタイルのsubstitution ルールを用いてある一方向でのタイルの貼り合せが行われる場合があるが，その場合においてもタイリングが構成される可能性があることが分かっている。ある一方向にタイルの貼り合せが行われるとき，構成されるものは，必ずしもタイリングにはならず，非有界なくさび型の領域におけるタイル配置が得られることがある。非有界なくさび型の領域を貼り合せることで，タイリングを構成するとき，得られるタイリングを網羅的に調べ上げることを，Danzerタイリングの場合に試み，その分類に成功した。タイルの貼り合せの方向は準結晶の成長の方向と考えられ，重要である。これらは本研究課題において重要な結果である。本課題における手法の副産物として，直鎖分子および環状分子の立体構造の数理モデルの配置空間のトポロジーを調べることに応用できた．この結果は将来的には本課題にリンクする高分子準結晶のフォールディング構造の近似に使える可能性を有している。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
特定の性質をもつタイリングを組織的に構成するために，構成法に重点を置いて調べてきた。我々が用いる主な構成法は環状拡大およびsubstitution ルールである。前者では階層的な有向グラフを用いた環状拡大の制御についてより適用範囲を広げることができた。後者では，プロトタイルのsubstitution ルールを用いて得られる非有界なくさび型の領域を貼り合せることで，タイリングを構成するとき，得られるタイリングを網羅的に調べ上げ，分類するやり方を定式化できた。タイルの貼り合せの方向は準結晶の成長の方向と考えられ，重要である。また，本課題における手法の副産物として，直鎖分子および環状分子の立体構造の数理モデルの配置空間のトポロジーを調べることに応用できた．平成２５年度は一般の長さの分子を扱う方向性を模索し、その糸口をつかんでいる。この結果は将来的には本課題にリンクする高分子準結晶のフォールディング構造の近似に使える可能性を有している．以上より，トータルとしては、当初予定していた成果とほぼ同等の成果が得られたものと考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後も特定の性質をもつタイリングを組織的に構成するために，構成法に重点を置いて調べてゆく。特に環状拡大およびsubstitution ルールを用いた構成法を調べる。タイルの貼り合せの方向を制御することを目指したい。これら２つのタイリングの構成法は互いに関係しており，総合的に調べてゆく。特に双曲平面タイリングにおいては，双曲平面ゆえにうまくいっている部分をユークリッド平面のタイリングで取り扱えるようにすることが求められる。得られる結果を用いて，コンウェイ・ワームの方向をコンウェイ・ワームの境界を成すエッジのなす方向の極限と定義することに再度挑戦する。また認知心理学や社会科学におけるタイリングをモデルとする問題へ応用することも視野に入れる。また，本課題における手法の副産物として，直鎖分子および環状分子の立体構造の数理モデルの配置空間のトポロジーを調べることができる．一般の長さの分子の配置空間のトポロジーを調べる手法を確立したい。この方向性でも研究を進めてゆく。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
研究分担者の江居さんの当該研究上の役割であるオートマトンのコンピュータ計算において次年度果たしていいただく役割が大きくなることが予想されました。そこで、今年度の使用額を極力切り詰めていただき、次年度での使用額を増額することにしました。
オートマトンのコンピュータ計算において大量の保存すべきデータが生じます。これらを保存するメディアの購入に使用する予定です。
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