| 研究課題/領域番号 |
23540149
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| 研究機関 | 大分大学 |
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研究代表者 |
家本 宣幸 大分大学, 教育福祉科学部, 教授 (70161825)
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| キーワード | 超空間 / 辞書式順序 / チコノフ積 / 順序数 / Vietoris位相 / elementary submodel / 単調正規空間 |
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| 研究概要 |
コンパクト(ω-bounded)空間達の任意個の通常の積(チコノフ積)はコンパクト(ω-bounded)になることが知られている。γを順序数、｛X(α)：α＜γ｝を 順序位相空間達の長さγの列とするとき、それらの積に辞書式順序を入れた順序位相空間を辞書式順序積と言う。実数の[0，1]閉区間の二つの辞書式順序積もコンパクトであることもよく知られている。可算コンパクト性はω-bounded性より弱く、ω-bounded性はコンパクト性より弱い性質であることが知られている。順序位相空間の積の位相的性質について次のことがわかった。超空間の位相的性質の解明に役立つものと思われる。ここで、ωは最小無限順序数で、ω_1は最小非可算順序数である。任意の長さのコンパクト順序位相空間達の辞書式順序積はコンパクトである。任意個の可算コンパクト順序位相空間達のチコノフ積は可算コンパクトである。ω_1の長さωの辞書式順序積は可算コンパクトである。ω_1の長さω+1の辞書式順序積は可算コンパクトではない。2の長さωの辞書式順序積は3の長さωの辞書式順序積の部分空間である。2の長さω+1の辞書式順序積は3の長さω+1の辞書式順序積の部分空間にはならない。2の長さωの辞書式順序積と3の長さωの辞書式順序積はカントール集合と位相同型である。従ってそれらは距離空間である。2の長さω+1の辞書式順序積は距離化可能ではない。2の長さω+1の辞書式順序積と3の長さω+1の辞書式順序積は位相同型ではない。ωの後に2の長さωの積をかけた積について、辞書式順序積の位相とチコノフ積の位相は一致する。ωの長さωの積について、辞書式順序積の位相はチコノフ積の位相より弱い。ω、ω、ω_1の辞書式順序積の位相はチコノフ積の位相より弱い。ω、2、3、4、ω_1+1をかけた積について、辞書式順序積の位相とチコノフ積の位相は一致する。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
本研究の第一の目的は「ωの部分集合にVietoris 位相を入れた超空間2ωが可算メタコンパクトか？」であった。超空間はチコノフ積に密接に関係することが、本研究代表者らによって知られている。単調正規空間の積の位相的性質についての結果や順序数の超空間上の関数の拡張性についての結果が得られた上に、本研究の目的以外の辞書式順序積とチコノフ積との関係についての結果も得られ、当初の計画以上に進展している。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究の第一の目的「ωの部分集合にVietoris 位相を入れた超空間2ωが可算メタコンパクトか？」に向けて、現在順序位相空間のチコノフ積の可算メタコンパクト性についての考察を始めている。この問題を含め、順序数の超空間の位相的性質を調べるとき、可算cofinalityを持つ順序数の場合の考察が意外と難しい。これを解く鍵がωのStone-Cechコンパクト化のremainderの点の性質にあるかもしれないという確信を持ちつつある。そのため、ωのStone-Cechコンパクト化の洗い直しをし、よく知られているある種の性質を持つ点(たとえば、P-point)の存在を仮定したとき、超空間2ωはどのような位相的性質を持つかも同時に考察したい。
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