| 研究課題/領域番号 |
23540167
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| 研究機関 | 神奈川大学 |
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研究代表者 |
阿部 吉弘 神奈川大学, 工学部, 教授 (10159452)
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| 研究分担者 |
薄葉 季路 名古屋大学, 高等研究院, 特任助教 (10513632)
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| 研究期間 (年度) |
2011-04-28 – 2014-03-31
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| キーワード | Ｐκλ / イデアル / 有界集合 / 上限関数 / 双対フィルター / 濃度 / 強到達不能基数 |
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| 研究概要 |
研究目的ごとに得られた結果を箇条書きで述べる。[1]強正規イデアルと正規イデアル：(１)Ｐκλの標準的埋め込みによる像は、κが強到達不能基数のときに限り非有界であり、κが Mahlo 基数のときに限り stationary である。(２)最小の強正規イデアルに属さない集合の像は強 stationary で、有界集合の像は有界であるようなＰκλの埋め込みは、標準的なものしかない。[2]Ｐκλ上のイデアルの構造理論：(１)κ上では、有界集合の像は有界であるため、有界イデアルの像は、κの像へ有界イデアルを制限したものである。ＰκλからＰκλへの関数 f で、有界イデアルの像が、Ｐκλの像への有界イデアルの制限にならないものを構成した。(２) f による非有界集合 A の逆像 B が有界イデアルの双対フィルターに属し、B の任意の部分集合 X に対し、X が有界なことと X の像が有界なことが同値ならば、f による有界イデアルの像は、A への有界イデアルの制限である。（３）弱正規イデアル I の双対フィルター F 上で上限関数が１対１で、f が有界イデアルを保存ずるならば、f は F 上で１対１である。[3]非有界集合の組み合わせ論的性質：(１)λが正則で、濃度λの非有界部分集合が存在するならば、ある非有界な集合上で上限関数は１対１である。(２)非有界集合 X の濃度の cofinality がκより大きいならば、X の有界部分集合で X と等濃度なものが存在する。(３)κが強到達不能基数でＰκλの濃度がλならば、非有界部分集合 X で、X の任意の２元 x, y に対し、x が y の部分集合ならば x の濃度は y とκの共通部分の濃度より小さいものが存在する。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
イデアルの構造理論に関しては着実に成果を積み上げてきており、残り2年間である程度整った理論を構築できると踏んでいる。一方、非有界集合の性質の究明は困難を極めている。正規性を仮定しないと、あまりにも多くの可能性があって、まとまった結果とならない。しかし、これはある程度予期していたことで、多くの成果が得られない可能性は申請書にも述べていた。本研究の波及効果として、分担者は組み合わせ論に関する多くの結果を示しているし、Ｐκλに関する新しい知見を代表者もいくつか得てている。以上を総合すると、順調な進展とは言い難いが、若干遅れている程度と思われる。
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| 今後の研究の推進方策 |
各研究目的に対して、次の点を重点的に研究する。[1]：（１）Ｐκλの標準的埋め込みは強正規性を保つので、強正規でない正規イデアルの振る舞いを研究する。（２）イデアルが正規イデアルに拡張できるという性質と、強正規イデアルへの拡張可能性の間に差異があるかを調べる。[2]：有界イデアルを保存する関数 f:Ｐκλ→Ｐκλのみを対象にした構造理論を構築する。κ上のP-ポイント、Q-ポイント等は、この理論の枠組みに含まれるので、扱う関数を制限したからといって無意味なものではない。[3]：研究目的[1]、[2]の遂行上で浮かび上がってくる組み合わせ論的性質を満たす、stationary ではない非有界集合が存在するか調べる。加茂静夫（大阪府立大名誉教授）と塩谷真弘（筑波大）を連携研究者とする。Logic Colloquium 2012 (マンチェスター)等、海外での成果発表を２回以上行い、情報の収集に努める。9月と2013年3月に若手研究者（分担者も含む）を神奈川大学に招いてセミナーを行う。春秋の日本数学会の定例会、12月のRIMS研究集会等で全メンバーによる研究打ち合わせを行うほか、できる限り多く直接ディスカッションする機会をもち、研究を進めていく。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
前年度からの繰越金は、分担者の所属している名古屋大学で、事務側の手続きに不手際があったため繰り越すことになった。今年度、分担者がトロント（カナダ）で行われる研究集会に出席する旅費に使用する予定である。その他に、少なくとも１回、海外での研究集会で発表するために外国旅費を支出する。特に更新を必要とする設備はないので、研究費のほとんどを国内の集会への旅費と、メンバーがディスカッションするために集まるときの出張費に計上する。
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