| 研究概要 |
Pκλ上のイデアルについて、構造理論の核となるP-point、Q-point、selective イデアルの概念を定義した。κ上と同じく成り立つのは、(1)正規イデアルはP-pointである。(2)Bounded イデアルは weak P-point だが nowhere Q-pointである。κ上と異なる事実は (1){X:f によるXの逆像がbounded イデアルに属する}が、Bounded イデアル の f によるPκλの像 f[Pκλ]への制限 {X:Xとf[Pκλ]の共通部分がIに属する}にならないものが存在する。(2) 正規イデアルで selective ではないものが存在する。また、κ上が特殊な場合であったことが明らかになった事実として、「弱正規イデアルIと{X:f によるXの逆像がIに属する}がイデアルになるfに対しては, 補集合がIに属し、その上で f(x)=f(y) ならばsup(x)=sup(y)になっている集合が存在する」がある。
Pκλの unbounded set に関しては、「強コンパクト基数κに対し、Pκλの stationary な部分集合 S で、どんなPκλの元 x に対しても S と{y|y は x の部分集合でyの濃度は x とκの共通部分の濃度より小さい}の共通部分は stationary ではない」強制モデルを構成した。これは、κが超コンパクトの場合と異なる事実である。
研究課題と関連する巨大基数に関しては、次のような結果を得た:(1) Pκλ上の３個組の分割の性質を almost ineffability で特徴づけた。(2) 超強基数や extendible 基数などは、超コンパクト基数と異なり、強い閉性をもつ強制法では保存されない。(3) 弱コンパクトイデアルなどの、多くの定義可能なイデアルを飽和させる強制法が存在する。
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