| 研究概要 |
解析的接近が可能であるように問題を単純化した離散的なモデルを考え、空間の次元との関連で充填率を考える。より具体的には次の問題を考えた。辺の長さ1である格子を考え、格子点の上にcubeの頂点を置く、離散的な向きをそろえたランダムパッキングを考える。辺の長さmのcubeを辺のながさ2mのcubeに向きをそろえてランダムにつめてゆくというもっとも単純な離散的ランダムパッキングを考える。さらに片隅充填志向という条件をいれると空間の次元dとの関連で充填率の期待値の漸化式が得られる。この漸化式に基づいてm および次元dについての充填率の漸近的挙動を調べた。この問題の解決には古典的な解析学における様々な深い性質を用いる必要があるが台湾の統計科学研究所のProf Hsien-Kuei Hwang らの協力によりもとめることができた(Journal of Applied Probability, 2014 年掲載予定)。これは多次元ランダムパキングの充填率を空間の次元dと離散性の度合いm について漸近的にもとめた最初の結果であると考える。 トーラスへの確率充填の問題はより幾何学的でありさらに問題を単純化する必要があるがこの問題についてはまだ顕著な結果はえられず現在も研究中である。さらに単純化したモデルを考える必要があると考えている。
この問題に関連しBoston UniversityのProf Paul Krapivsky と共著でContinuum cascade modelfor directed random graph を考え漸化式をもとめtraveling wave analysisにより漸近挙動をもとめた（Journal of Physics A Math. Theor. 45, 2012年)。この問題にはBranching random walk におけるMartingale法を適用できるという助言がStanford 大学のProf Amir Dembo よりあり論文作成中である。
|
