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2011 年度 実施状況報告書

2次特性的双曲型作用素とハミルトン写像およびハミルトン流

研究課題

研究課題/領域番号 23540199
研究機関大阪大学

研究代表者

西谷 達雄  大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80127117)

研究期間 (年度) 2011-04-28 – 2014-03-31
キーワードハミルトン写像 / スペクトル構造 / 初期値問題 / 適切生 / 実効果的双曲型 / 零陪特性帯
研究概要

非実効果的双曲型作用素について,2次特性多様体が3次元の場合に限って,ハミルトン写像のスペクトル構造が余次元1の部分多様体で変化する場合を研究した.この場合,部分多様体に接しながら近づいていく零陪特性帯が存在しなければ,いわゆる狭義 Ivrii-Petkov-Hormander 条件の下で,初期値問題が適切であることを示した.この結果は,2011年9月にイタリアのBertinoroで開催された国際研究集会「Perspectives in Phase Space Analysis on PDE's」で発表した.また,2次特性多様体に接しながら近づく零陪特性帯で,スペクトル構造が変化する部分多様体には横断的であるものが存在するにもかかわらず,初期値問題が適切となるクラスが実際に存在することも示した.これは,スペクトル構造が一定である場合からは予想できない結果である.ハミルトン写像のスペクトル構造が一定な,非実効果的双曲型作用素で,2次特性多様体に接しながら近づく零陪特性帯が存在しない場合に,有限伝播波面集合の超局所パラメトリックスの概念を導入し,初期値問題が適切であることを示した.この結果を2011年11月に高知で開催された研究集会「古典解析と超局所解析」で発表した.2011年4月~6月にイタリアのピサを訪れ,F.Colombini, N.Orru, L.Pernazza 氏と共同で2階2独立変数の双曲型作用素に対する初期値問題を研究し,従来の結果より弱い仮定の下で初期値問題が適切となることを示した.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

非実効果的双曲型作用素で2次特性多様体が3次元かつハミルトン写像のスペクトル構造が余次元1の部分多様体 上で変化する場合に限るが,ハミルトン流の軌道の挙動と初期値問題の適切生との関係を明らかにする,という本研究の目的を遂行することができた.

今後の研究の推進方策

ハミルトン写像のスペクトル構造が余次元1の部分多様体上で変化する場合は,常に非実効果的,常に実効果的 および実効果的から非実効果的に変化する,という3つの場合が起こりうる.最初の場合は,初年度の研究で ハミルトン流の軌道の挙動と初期値問題の適切生との関係を明らかにすることができたが,残りの2つ場合が未解決である.従ってこの未解決の場合を研究し,ハミルトン流の軌道の挙動と初期値問題の適切性との間の関係を明らかにする.さらに2次特性多様体の次元が3次元以上の一般の場合を考察する.

次年度の研究費の使用計画

国内の WKB 解析グループとの情報交換のための旅費および2012年6月にフィンランドで開催される国際研究集会「Fourier Analysis and Pseudo-Differential Operators」に参加するための旅費を予定している.また,情報交換や研究連絡に不可欠な小型のノートパソコンの購入も予定している.

  • 研究成果

    (5件)

すべて 2011

すべて 雑誌論文 (3件) (うち査読あり 3件) 学会発表 (2件)

  • [雑誌論文] A note on the zero free region of the Stokes multipliers for second order ordinary differential equations with cubic polynomial coefficients2011

    • 著者名/発表者名
      T.Nishitani
    • 雑誌名

      Funkcialaj Ekvacioj

      巻: vol 54 ページ: 473-483

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Some well-posed Cauchy problem for second order hyperbolic equations2011

    • 著者名/発表者名
      F.Colombini, T.Nishitani, N.Orru, L.Pernazza
    • 雑誌名

      Osaka J.Math.

      巻: 48 ページ: 645-673

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the Cauchy problem for noneffectively hyperbolic operators: Gevrey 4 well-posedness2011

    • 著者名/発表者名
      E.Bernardi, T.Nishitani
    • 雑誌名

      Kyoto J. Math.

      巻: 51 ページ: 767-810

    • 査読あり
  • [学会発表] The Gevrey well-posedness of the Cauchy problem for noneffectively hyperbolic operators2011

    • 著者名/発表者名
      T.Nishitani
    • 学会等名
      2011 NCTS Taiwan-Japan Workshop on PDEs and Geometric Analysis(招待講演)
    • 発表場所
      台北 (台湾)
    • 年月日
      2011 – 1219
  • [学会発表] On the Cauchy problem for noneffectively hyperbolic operators, a transition case2011

    • 著者名/発表者名
      T.Nishitani
    • 学会等名
      Perspectives in Phase Space Analysis on PDE's(招待講演)
    • 発表場所
      Bertinoro (イタリア)
    • 年月日
      2011 – 0929

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公開日: 2013-07-10  

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