研究課題
(1)連携研究者と共に、非線形作用素が弱連続な場合に弱解の存在に関する研究を進めている。これは研究課題に関連して派生したものであり、現在非線形シュレディンガー方程式や波動方程式の初期値・境界値問題をモデルとして抽象理論の整備を行っている。（２）分担者の小林は、バナッハ空間におけるリプシッツ発展作用素の生成理論と応用について研究を行った。これは、係数が時間に依存する場合の非線形偏微分方程式の初期値・境界値問題に関連するものである。得られた結果を、消散型準線形波動方程式の初期値問題の適切性の証明に応用した。非線形作用素A(t)が連続な場合に、A(t)がリプシッツ発展作用素の生成作用素となるための必要十分条件を与えた。（３）分担者の渡邉は、保存則方程式と多孔性媒質方程式を結合させた強退化放物型方程式に対するzero-flux境界値問題を考察した。方程式の係数が滑らかな場合に多次元問題を扱い、BV空間においてエントロピー解の存在・一意性を証明した。次に、非線形移流項が空間変数に関して不連続な場合に1次元問題を考察し、エントロピー解の存在を証明し、非線形移流項に対する増大条件の下でエントロピー解の一意性も証明した。さらに、結晶粒界現象を記述する数学モデルである、Kobayashi-Warren-Carterモデルを考察した。このモデルは、未知関数を含む重み付き全変動汎関数を含むような自由エネルギーの勾配流として記述される準線形放物型方程式の連立形である。特に、重み付き特異拡散方程式の係数が退化する場合に1次元問題を考察した。これは、結晶面の鋭い界面を再現するためには、係数が退化する場合を扱う必要があるためである。係数の退化領域と非退化領域に分け、Mosco収束を用いることで、解の存在、エネルギー消散性を示し、時間大域的挙動も考察した。
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