| 研究課題/領域番号 |
23540213
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| 研究機関 | 高知大学 |
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研究代表者 |
諸澤 俊介 高知大学, 教育研究部自然科学系, 教授 (50220108)
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| キーワード | 複素力学系 / 超越整関数 / 遊走領域 / ベーカー領域 / 広義一様収束 / 力学的収束 |
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| 研究概要 |
研究の対象として複素１パラメータの超越整関数族 f_{a}(z)=z + exp(z) + a を考えた。この関数はパラメータの取り方により超越整関数特有のファトウ成分であるベーカー領域や遊走領域を持つことがある。この関数は超越整関数 g_{b}=b z exp(z) の対数持ち上げとして考えることができる。このことと複素１パラメータ関数族であることを用いて、この関数族の分岐図を考察した。そして遊走領域あるいはベーカー領域を持つパラメータのなす成分について結果を得た。良く知られている結果として多項式はベーカー領域も遊走領域も持たない。しかし、どのような超越整関数であっても多項式列で広義一様収束させることができる。超越整関数 f_{a} に対し、多項式列 P_{a, d}(z) ＝(1+a/d)z ＋ (1+z/d)＾{d+1} + a を考えた。これは f_{a} に広義一様収束する。力学系において双曲性は安定した性質である。双曲性を持つ g_{b} の対数持ち上げとなる f_{a} に対し、それらがベーカー領域を持つ時も遊走領域を持つ時も、多項式列 P_{a, d} が力学的に f_{a} に収束することが示せた。ベーカー領域は多項式の吸引直接鉢の増大列の極限として特徴付けられた。また、ここで現れる遊走領域は吸引周期の直接鉢でその周期が無限大に収束するものの極限として特徴付けられた。さらに、P_{a, d} の分岐図のいくつかの周期成分について、それらが f_{a} の分岐図の遊走領域の成分にカラテオドリー収束することを示した。これらの結果をまとめて論文とし、雑誌に投稿した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
関数 f_{a}(z)=z + exp(z) + a は無限個の特異値を持ち、そのファトウ集合はベーカー領域あるいは遊走領域を持つことがある。これに対しそれらを決して持たない多項式列による近似の力学的収束が示せた。さらに f_{a} の分岐図においてベーカー領域や遊走領域に対するいくつかの成分について多項式の分岐図の双曲成分がカラテオドリー収束することが示せた。これらの結果は超越整関数特有のファトウ成分であるベーカー領域や遊走領域の新しい特徴付となっている。
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| 今後の研究の推進方策 |
関数族 f_{a} のベーカー領域や遊走領域の多項式近似による特徴付を考えてきた。これをベーカー領域や遊走領域を持つより一般の超越整関数の場合に拡張して行く。
関数 f_{a} についてかなり詳しい性質を理解することができた。そこで、この関数からなる半群の力学系を考えてみたい。そのことにより超越整関数の半群の力学系における未解決の予想のいくつかを解くことができるのではないかと考えている。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
インドで開催された International Conference on Advances in Dynamical Systems で招待講演を依頼され、参加した。開催時期が当初参加を予定していた日本数学会2014年度年会に近接していた為に数学会への参加を取り止めたため。
今年度開催される ICM の力学に関するサテライトコンファレンスに参加する。
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