| 研究実績の概要 |
超越整関数の複素力学系の研究を行ってきた。有理関数の力学系との大きな違いは超越整関数のそれはファトウ集合に遊走領域とベーカー領域を持つかもしれないということである。超越整関数が特異値を有限個しか持たない場合には有理関数同様にそのファトウ集合は遊走領域もベーカー領域も持たない。一方で超越整関数は常に多項式列の広義一様収束列の極限として表すことができる。そこで遊走領域、ベーカー領域を多項式のファトウ成分の極限として考察した。特に複素１パラメータの超越整関数族 f_{a}(z)=z + exp(z) +a を考えた。この関数は a の値により、遊走領域やベーカー領域を持つことがある。この関数族のパラメータ空間において、遊走領域やベーカー領域を持つ成分を求めることができた。さらに f_{a} に広義一様収束する多項式列として特別な多項式 P_{a, d}(z) を考えた。f_{a}(z) をある超越整関数の対数持ち上げとして考え、双曲性を与える。この場合には f_{a} が遊走領域やベーカー領域を持っていたとしても P_{a, d} のジュリア集合がハウスドルフ収束する、すなわち力学的収束をすることが示せた。また P_{a, d} のパラメータ空間の幾つかの双曲成分について、それらの f_{a} のパラメータ空間の成分へのカラテオドリー収束も示せた。これらの結果は 2015 年に Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. に掲載された。最終年度は、f_{a} のパラメータ空間と P_{a, d} のパラメータ空間について研究を進めた。さらに遊走領域やベーカー領域を持つ超越整関数を多項式列から構成する方法を研究し、幾つかの例を得た。
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