| 研究概要 |
以前連携研究者日合氏(東北大)と研究代表者は共同研究を行い, ヒルベルト空間の作用素に対する作用素平均とそのノルム比較に関する一般論を構築した。この理論ではスカラー平均より, 自然な形で作用素平均が構成される。そしてこのような二つの作用素平均のノルム比較を行う為には, 対応するスカラー平均のある種の比として現れる関数の正定値性のチェックが必要となる。正定値性のチェックの為の常套手段はBochnerの定理であり, その適用の為にはFourier変換が必要となる。従って, 各種ノルム平均不等式の研究の為には系統的なFourier変換の計算が必要であり, 研究代表者はそのような計算, またそれに基づく正定値性の判定結果を蓄積してきた。その多くは論文として既に発表済みである。
この研究で現れる正定値関数は更に強く無限分解可能関数, すなわち任意の正冪も正定値, となることがしばしばである。この状況を更に深く理解する為Kolmogorov公式に現れる測度を具体的に書き下すという地道な研究を実行した(論文は投稿中)。この研究により作用素不等式の研究の更なる進展がもたらされた。
特に最終年である今年度は, 今まで蓄積してきた正定値性・無限分解可能性判定の手法の応用として, 量子情報理論に於ける新たな知見を得た。この理論ではmonotone metricから自然に定まる行列環上の変換がいつ完全正写像となるの決定が重要な研究テーマであるが, その判定が正定値性判定と非常に関係深い。一般論の研究と共にWigner-Yanase-Dyson関数と関連するmonotone metricの定める行列環上の変換がどのパラメータの範囲で完全正写像となるかを完全に決定した。また, 関連分野の研究として, von Neumann環の枠組みでのトレースに対するJensen型不等式の研究を行った。
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