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2011 年度 実施状況報告書

バナッハ空間及び関数空間の幾何学的構造の研究とψ直和の応用

研究課題

研究課題/領域番号 23540216
研究機関信州大学

研究代表者

加藤 幹雄  信州大学, 工学部, 教授 (50090551)

研究分担者 斎藤 吉助  新潟大学, 自然科学系, 教授 (30018949)
田村 高幸  千葉大学, 人文社会科学研究科(系), 助教 (30302582)
鈴木 智成  九州工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (00303173)
研究期間 (年度) 2011-04-28 – 2014-03-31
キーワードバナッハ空間のψ直和 / 弱uniform smooth性 / uniform non-squareness / 凸関数 / absolute norm / [ell]_1 type norm / von Neumann-Jordan定数 / バナッハ空間の幾何学
研究概要

(1) Weak nearly uniform smoothness(WNUS性)は空間の不動点性を導く性質の一つとして興味深い。任意有限個のバナッハ空間のψ直和のWNUS性を中心に研究し、その特徴づけを得た。また、応用としてuniformly non-square(UNSQ)でないが不動点性を持つ空間が豊富に存在することを示した(投稿準備中)。このことは、2006年の有名な結果「UNSQな空間は不動点性をもつ」に於いてUNSQ性がまだかなり強い十分条件であることを示唆している。なお、任意有限個のバナッハ空間に対する上述の考察は著しく複雑であり、その研究過程でCn上の[ell]_1型ノルムを生成する新たな凸関数の族を導入したが、この凸関数の族について一連の性質を明らかにした。また、ψ-ノルムがstrictly monotoneの場合、任意有限個のバナッハ空間のψ直和に対するUNSQ性の特徴付けを得た(preprint)。 (2) 単位区間上の凸関数からC2上のabsolute normを構成するBonsal-Duncanの結果を一般化して、任意の有限区間上の凸関数からabsolute normを構成する手順を与えた。これを用いて一連の2次曲線からC2上のabsolute normを構成し、それらのvon Neumann-Jordan(NJ)定数を決定した(J. Nonlinear Convex Anal., 掲載決定)。この結果は、C2上の[ell]2 normが双曲線の一部から構成されることに動機を有する。これにより、最近得られたNJ定数とJames定数に関する不等式(高橋-加藤,JMAA, 2009)の精密化について知見を得た。 (3) Smoothnessに関連した幾何学的定数A(X)について一連の成果を得た(投稿準備中)。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

任意有限個のバナッハ空間のψ直和については、数年前よりUNSQ性の研究を進めてきたが、WNUS性の研究はその前段階に位置するもので、今年度ようやく満足のいく成果を得た。その研究過程で見出した[ell]_1型ノルムを生成する凸関数の族に関する研究は、当初の予想をはるかに超えて進展し、懸案のUNSQ性の研究に大きな手がかりを与えるものとなった。また、幾何学的定数、とくにNJ定数に関する研究も順調に進んでいる。

今後の研究の推進方策

UNSQ性の特徴付けなど任意有限個のバナッハ空間のψ直和に対して研究を進める。また、[ell]_1型以外の特徴的な型のノルムを生成する凸関数の族を考察する。多方面で応用される凸関数の基礎的研究として、その意義は大きいと思われる。また、興味深い研究対象である空間X_(ψ)(未発表)の研究を進める。23年度はψ直和や凸関数の族に関する研究において、新たな手法や道具を創り上げていくことに多くの精力を注ぐことになった。この点で、幾何学的定数に関する研究がやや第2義的になった感があるが、この課題でも興味深い問題が多く、着実に成果を挙げていきたい。研究打ち合わせにおけるアイデア・情報の交換は、新たな研究対象・問題に挑む際、その方向性を探る上で、また証明の実行などにおいて重要であり、共同研究活動の本質的な部分をなす。今後も引き続き、研究分担者や研究協力者と緊密な研究打ち合わせを行い、研究の着実な進展を図る。なお、23年度から研究機関を移ったこと、また上述の課題に集中的に取り組んだため、研究代表者自身は海外の招待講演を中心として、国内の研究集会等における発表を控える形になったが、今後、国内においても研究成果を広く発表していく。

次年度の研究費の使用計画

研究分担者等との緊密な研究打ち合わせ、また、国内外での研究成果発表のための旅費に多くを充てる。また、文献をはじめ、部分的な成果などを逐一印刷して確認するため、研究費の一部はプリンター関係の消耗品などに充てる計画である。

  • 研究成果

    (16件)

すべて 2012 2011

すべて 雑誌論文 (8件) (うち査読あり 6件) 学会発表 (7件) 図書 (1件)

  • [雑誌論文] Von Neumann-Jordan constant for the norms associated with conics2012

    • 著者名/発表者名
      T. Ikeda, S. Kai, M. Kato
    • 雑誌名

      J. Nonlinear Convex. Anal.

      巻: 13 ページ: 807-820

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the inequality C_{NJ}(X) \leq J(X)2011

    • 著者名/発表者名
      Y. Takahashi, M. Kato
    • 雑誌名

      Banach and Function Spaces III (Proc. Third Intern. Symposium on Banach and Function Spaces 2009)

      巻: 3 ページ: 317-328

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Some geometric constants related with the modulus of convexity of a Banach space2011

    • 著者名/発表者名
      Y. Takahashi, M. Kato
    • 雑誌名

      京都大学数理解析研究所講究録

      巻: 1755 ページ: 147-151

  • [雑誌論文] Some inequalities concerning geometric constants of Banach spaces2011

    • 著者名/発表者名
      Y. Takahashi, M. Kato
    • 雑誌名

      京都大学数理解析研究所講究録

      巻: 1753 ページ: 23 -28

  • [雑誌論文] Schatten p-norm inequalities related to an extended operator parallelogram law2011

    • 著者名/発表者名
      M. S. Moslehiam, M. Tominaga, K.-S. Saito
    • 雑誌名

      Linear Algebras and Applications

      巻: 435 ページ: 823-829

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Extremal structure of the set of absolute normalized norms on R^2 and the James constant2011

    • 著者名/発表者名
      N. Komuro, K. S. Saito, K.-I. Mitani
    • 雑誌名

      Applied Math. Computation

      巻: 217 ページ: 10035-10048

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Fixed point theory for a class of generalized nonexpansive mappings2011

    • 著者名/発表者名
      J. Garcia Falset, E. Llorens Fuster, T. Suzuki
    • 雑誌名

      J. Math. Anal. Appl.

      巻: 375 ページ: 185-195

    • 査読あり
  • [雑誌論文] A simple proof of a Browder's type convergence theorem for infinite families of nonexpansive mappings in Banach spaces2011

    • 著者名/発表者名
      T. Suzuki
    • 雑誌名

      Banach and Function Spaces III (Proc. Third Intern. Symposium on Banach and Function Spaces 2009)

      巻: 3 ページ: 305-316

    • 査読あり
  • [学会発表] Some norm inequalities in the Banach space geometry2011

    • 著者名/発表者名
      Mikio Kato
    • 学会等名
      Recent Developments in Functional Analysis and Approximation Theory(招待講演)
    • 発表場所
      Lecce, Italy
    • 年月日
      2011年9月2日
  • [学会発表] Skewness and geometrical constants for Banach spaces2011

    • 著者名/発表者名
      三谷健一, 斎藤吉助, 高橋泰嗣
    • 学会等名
      日本数学会秋期総合分科会
    • 発表場所
      信州大学、松本
    • 年月日
      2011年9月28日
  • [学会発表] Compatible mappings2011

    • 著者名/発表者名
      鈴木智成
    • 学会等名
      日本数学会秋期総合分科会
    • 発表場所
      信州大学、松本
    • 年月日
      2011年9月28日
  • [学会発表] 様々なタイプの、完備距離空間における不動点定理2011

    • 著者名/発表者名
      鈴木智成
    • 学会等名
      研究集会「非線形解析学と凸解析学の研究」
    • 発表場所
      京都大学、京都
    • 年月日
      2011年8月29日
  • [学会発表] On uniform non-[ell]^n_1-ness for direct sums of Banach spaces2011

    • 著者名/発表者名
      Mikio Kato
    • 学会等名
      2nd International Workshop on Interpolation Theory, Function Spaces and Related Topics(招待講演)
    • 発表場所
      Santiago de Compostela, Spain
    • 年月日
      2011年7月19日
  • [学会発表] Invitation to Banach space geometry2011

    • 著者名/発表者名
      加藤幹雄
    • 学会等名
      ポテンシャル論セミナー(名城大学理工学部)(招待講演)
    • 発表場所
      名城大学、名古屋
    • 年月日
      2011年12月2日
  • [学会発表] Von Neumann-Jordan定数について2011

    • 著者名/発表者名
      斎藤吉助
    • 学会等名
      作用素論・作用素環論研究集会
    • 発表場所
      琉球大学、沖縄
    • 年月日
      2011年11月5日
  • [図書] Banach and Function Spaces III (Proc. 3rd International Symposium on Banach and Function Spaces 2009, Kitakyushu, Japan, Sep. 14-17, 2009)2011

    • 著者名/発表者名
      M. Kato, L. Maligranda, T. Suzuki (editors)
    • 総ページ数
      483
    • 出版者
      Yokohama Publishers

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公開日: 2013-07-10  

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