| 研究課題/領域番号 |
23540244
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| 研究機関 | 愛媛大学 |
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研究代表者 |
内藤 雄基 愛媛大学, 理工学研究科, 教授 (10231458)
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| 研究分担者 |
梶木屋 龍治 佐賀大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (10183261)
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科(研究院), 准教授 (40232227)
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| キーワード | 放物型偏微分方程式 / 自己相似解 / 安定性 / 爆発問題 / 漸近的性質 |
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| 研究概要 |
非線形問題においては、初期値や方程式に含まれるパラメータをわずかに変えるだけで解の挙動や性質が劇的に変化する現象が多く知られている。そのような特異な現象は、定常問題の特殊な解構造により引き起こされ得ることが知られている。本研究では、非線形放物型偏微分方程式に対して、解の挙動と定常問題の解構造との関連性について考察を行った。とくに今年度は非線形放物型偏微分方程式の解の挙動について重点的に研究を行った。
べき乗型の非線形項をもつ半線形熱方程式のCauchy 問題の解の挙動について考察を行った。この問題の解が大域的に存在するか有限時刻で爆発するかは、初期関数の無限遠方での減衰の速さにより決まることが知られており、さらにその境界となる臨界多項式減衰オーダーも知られている。ここでは、その臨界多項式減衰オーダーをもつ初期関数に対して、前方自己相似解と比較することにより、解が時間大域的に存在するための必要条件および十分条件を示し、さらに時間大域解の時間無限における解の挙動を明らかにした。とくにこの方程式においては、非線形項の指数に応じて自己相似解の個数が変化すること、自己相似解が存在する場合には、必ず最小自己相似解が存在することが知られている。2つ以上の自己相似解が存在する場合、非最小自己相似解は、時間大域解と有限時刻爆発解を分ける敷居解となること、そして時間大域解は漸近的に最小自己相似解に収束することを示すことができた。
さらにこれらの考察を通して、解が有限時刻爆発するための初期関数の無限遠方における最適な減衰条件を明らかにすることができた。この最適な減衰条件は、非線形項の指数が Joseph-Lundgren の指数と呼ばれる指数より大きい場合には、すでに Wang(1993) により知られていたが、それ以外の場合には未知であったものである。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非線形放物型方程式における自己相似解の役割を明らかにすることができたこと、および有限時刻爆発のための初期関数の最適な減衰条件が得られたことより、難解と思われる問題をいくつか解決することができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
パラメータを含むCauchy 問題において、初期関数を連続的に変化させた場合に、どのような解が現れるか、とくに時間大域解から有限時刻爆発解への遷移においてどのような挙動をする解が現れるかを明らかにしたい。また走化性方程式系における、自己相似解の役割および、その安定性・不安定性に関する問題について取り組む。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
今年度はわずかながらの残額があるが、研究費の使用は、ほぼ計画通りであった。来年度も研究分担者および研究連携者と連絡を取り合う。また、本研究の内容をテーマにしたセミナーや研究集会を開催し、関係する分野で活躍する研究者との交流を図る。
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