| 研究課題/領域番号 |
23540317
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| 研究機関 | 大阪市立大学 |
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研究代表者 |
安井 幸則 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (30191117)
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| 研究期間 (年度) |
2011-04-28 – 2016-03-31
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| キーワード | 時空の対称性 / ブラックホール / トーション |
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| 研究実績の概要 |
高次元ブラックホール時空には，共形キリング・矢野テンソル（CKYテンソル）と呼ばれる特別なテンソル場で記述される隠れた対称性が存在する．このような対称性は，ブラックホール時空の分類問題や時空の(不）安定性解析の研究においても重要な役割を果たすと考えられている．
歴史的には，Walkaer-Penrose(1970年）によって，4次元Kerrブラックホール時空の対称性として発見された．また，CKYテンソルを純粋に数学的視点から導入したのは，柏田(1968年)，立花(1969年）たちによる幾何学者の研究にまで遡る．20世紀後半になって，超弦理論や超重力理論等々の重力を含む統一理論の関心は高次元ブラックホール時空を研究する大きな動機付けを与えた．
本研究では，このような流れの中でCKY対称性が高次元時空にも拡張できることを明らかにしてきた．主要な結果は，Kerr-NUT-AdS時空が，CKY対称性を許す唯一のブラックホール時空であることを任意の時空次元で証明したことである．また，CKY対称性に物質場による変形の効果を取り入れることで，より広いクラスのブラックホール時空が捕えられるようになってきた．特に超重力理論の場合，このような変形は時空の「トーション」として自然な幾何学的解釈が与えられる．本研究では，トーションを持つ拡張されたCKY対称性を許す時空の分類を行った．
我々の研究は幾何学の分野においても有用である．実際，CKY対称性を許すブラックホール時空の解析接続(Wick回転）を使ってコンパクトなEinstein多様体を構成することができる．この結果は，Lorentz幾何学とRiemann幾何学の間に興味深い関連が存在することを示唆するものである.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
高次元時空に完全流体が存在する場合のアインシュタイン方程式に対し，トーションを含む共形キリング・矢野(CKY)対称性を使って新しい厳密解の構成に成功した．この解は，真空だけでなく物質場が存在するときにも，CKY対称性が有効に働くことを示した最初の例になっている．
また，超重力理論へCKYを応用することにより，超対称な厳密解の構成が出来るようになってきた．具体的には，トーションを持つカラビ・ヤウ多様体および例外型ホロノミー G2, Spin(7)を持つ多様体から，ヘテロ型超重力理論のBPS解の構成を行った．
他方，CKY対称性の基礎固めに対しても大きな進展があった．実際，CKY対称性の次元公式の導出に成功し，「Simple test for spacetime symmetry」というタイトルで重力の専門誌にこの結果を発表した．時空の計量を入力すれば，次元公式の計算を数式処理プログラムを使って実行することができる．こうして，非専門家でも時空の対称性を簡単に見つけることが出来るようになった．
現在，宝利剛(神戸大），David Kubiznak (Perimeter Institute), Claude M. Warnick (Warwick Univ.)と，CKY対称性に関する共同研究を行っており，その成果も期待できる状況にある．以上のように本研究は順調に進展している．
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| 今後の研究の推進方策 |
2015年3月14日-19日，共同研究者David Kubiznak (Perimeter Institute), Claude M. Warnick (Warwick Univ.)を大阪市立大学に招聘し，CKY対称性に関する共同研究のプロジェクトを立ち上げた．本年度は，この計画に基づき研究を行う予定である．
大きな目標は，CKY対称性を許す高次元時空の分類を行うことである．2次元時空(2次元曲面）の場合には，A.V.Bolsinov, A.T.Fomenkoによって書かれたテキスト「Integrable Geodesic Flows on Two-Dimensional Surface」で紹介されているように非常に長い歴史と非常に多数の論文があり，多くのことが知られている．
本研究のアプローチは，2次元に限定されるものではない．任意の時空次元に適用できることが大きな特徴の一つである．高次元時空の局所的な性質，大域的な性質をCkY対称性の視点から捕え，両者の性質の解明することにより，時空の分類を行うことを目標とする．本研究は，今年度が最終年度となるため2016年3月に研究会を開催し，これまでの成果の総合報告を行う予定である．
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