| 研究概要 |
本年度は次の問題を考えた. 小平次元 0 の多様体 X で, 良い極小モデルを持つ多様体, 例えばアーベル多様体などを一般ファイバーとするファイブレーションを持つものが与えられたとする. 特にその底空間の小平次元が負の無限大の場合に元の空間の極小モデルを構成を出来るか. 一般論から問題の状況では底空間の小平次元は 0 または負の無限大となることがわかっている. この問題を考察するにあたって, まず具体例を検証することで証明の足がかかりを得るべく, 底空間を小平次元が負の無限大の代数多様体の代表例である Fano 多様体, 一般ファイバーがアーベル多様体であるようなファイブレーションを持つような小平次元 0 の代数多様体から極小モデルを構成してみたところ, 目的とする極小モデルを得るためには, まず Fano 多様体の極小モデルである Sarkisov program を用いて底空間を双有理同値なもので取り替え, しかるのちに元のファイブレーションとのファイバー積を取り, その上で相対極小モデルを取らなければ目標とする極小モデルを得られない, ということがわかった. また, 同時にファイブレーションの構造を持つ極小モデルの間のファイブレーションを保つ双有理写像についても考察し, カナダのバンフで開催された国際研究集会に出席, 出席者との議論の中でこのような種類の新しい双有理射の新しい例を構成することが出来た.
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