| 研究課題/領域番号 |
23654021
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
宮岡 礼子 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70108182)
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| キーワード | 極小曲面 / ガウス写像 / 除外値問題 / Nevanlinna理論 / 対数微分の補題 |
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| 研究概要 |
目標である「有限全曲率をもつ完備極小曲面Mのガウス写像の除外値数が2でおさえられる」という予想の証明を進めている．穴あきリーマン面上で定義されるMの普遍被覆が複素円板Dである場合が本質的であり，D上でのNevanlinna 理論の構築が必要である．しかし，Mの被覆変換群は双曲等長群であり，ユークリッド計量との相性は非常に悪い．円板の半径をユークリッド距離 t で表して，t→1とするとき，双曲面積の増大度と，ガウス写像から誘導されるFubini-Study計量面積比の増大度の比を評価しなければならない．そこで基本領域が半径 t の円板で切り取られる部分の両面積を比較し，t→1のときにこの比をドミネイトする量を計算すると，自然対数の底 e に近い値が得られる．これをもとに高さ関数の計数変換を行って，複素平面上のNevanlinna理論と同様の「有限除外集合」の概念を確立し，その外での評価を得る事ができる．最終的にはに極小曲面の周期条件を反映させて，除外値数の評価につながるNevanlinnaの第2基本定理を導くことになる．ここでは対数微分の補題を有効に使い，Wierstrass表現に現れる正則形式も活用して，接近関数と個数関数の評価を行う．以上に述べたいずれのステップも非常に難解であるが，1993年に構成した除外値数2の様々な極小曲面の実例を手がかりとして，また，2005年に得た基本領域での面積比Rの評価をヒントにして研究を進めている．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
執筆中の論文は100ページを越えているが，細部の詰めが必要なので，まだ時間がかかりそうである．共同研究者の小林亮一氏と頻繁にやり取りするよう心がけている．
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き萌芽研究として継続して行く．議論はかなりはっきりしてきたので，時間をかけて「読める論文」にして行くこと，また，実例の具体的計算，を行うこと，さらに円板上のNevanlinna理論として他に応用がないか考えることなども目標としている．
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| 次年度の研究費の使用計画 |
共同研究者の小林亮一名大教授が３月に入院し，計画していた訪問招聘の一部が遂行できなかった．
前年度に引き続き，萌芽研究として当課題の遂行にとりくむ．研究打ち合わせ費用の他，場合により後期に小研究集会を行う．
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