| 研究課題/領域番号 |
23654025
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
小林 亮一 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (20162034)
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| 研究期間 (年度) |
2011-04-28 – 2014-03-31
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| キーワード | ケーラーリッチフロー / スカラー曲率 / ハミルトン変形 |
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| 研究概要 |
因子へのリッチ形式の局在化は，反標準因子の正の有理数倍を代表する因子に対して意味をもつ概念であり，そうでない因子に対しては定義できない．リッチ形式の局在の重要性は，反標準偏極されたファノ多様体を1次元高いファノ多様体またはそれに近い多様体の無限遠においてリッチ形式を無限遠に局在させることによって定義されるカラビ・ヤウ定理の特異摂動問題の挙動によって，反標準偏極されたファノ多様体の代数幾何的安定性とケーラー・アインシュタイン計量の存在の同値性を理解できるだろう，という予想にある．一般の豊富直線束で偏極された射影代数多様体の代数幾何的安定性と特殊ケーラー計量の存在の同値性問題をこの観点から論じたい．次数の低い豊富因子にスカラー曲率を局在させるという，カラビ・ヤウ型の特異摂動を考えたい．これは反標準束ではモンジュ・アンペール方程式の特異摂動問題に帰着するが，一般の偏極ではうまくいかない．本研究で，私はケーラーリッチフローのハミルトン変形という概念を発見し，一般の偏極の場合のスカラー曲率の局在化問題を定式化した．着目したのはケーラー・アインシュタイン空間内のラグランジュ部分多様体に対する平均曲率流がラグランジュ性を保つがハミルトン変形類を保たないことと，ケーラーリッチ流がケーラー性を保つが（反標準類を除いて）ケーラー類を保たないことの間に存在する類似性である．ハミルトン変形類やケーラー類を保つように方程式を変形する仕組みをホッジ理論で作ることができ．変形されたケーラーリッチ流である第1方程式と，その変形のために必要な関数が満たす方程式の発展方程式化である第2方程式から成る．反標準因子へのリッチ形式の局在化に伴うカラビ・ヤウ特異摂動の解析でキーであったモンジュ・アンペール方程式の解とそのヘシアンの間に成り立つ微妙な不等式がここでも本質的な意味を持ち，反標準束の場合の解析が使える．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
ケーラーリッチ流のハミルトン変形という概念を発見したのは予想外の収穫である．この概念は2次元球面上の面積保存曲線短縮流にさかのぼる．これは閉曲線のハミルトン変形である．曲線短縮流から面積保存曲線短縮流への変形は高次元ではホッジ分解にほかならない．そこでケーラー・アインシュタイン空間内のラグランジュ平均曲率流がその正当な拡張概念であることがわかる．同じ原理はいろいろな発展方程式で定義される．典型的な例がケーラーリッチ流である．ケーラーリッチ流の変形を参照してリーマンカテゴリーでのリッチ流でもこの変形を定式化することが可能である．こうしてリッチ流の研究に新しい領域を開く可能性のある概念を発見したことになる．たとえば，このように変形した（ケーラー）リッチ流に対しペレルマンのエントロピー汎関数とそれに伴う単調性定理と非崩壊定理やハミルトン平均曲率流に対するハイスケンのエントロピー汎関数の単調性の研究の門が開かれる．このような理由で，ケーラーリッチ流やラグランジュ平均曲率流のハミルトン変形の理論は大きな可能性を秘めていると思う．
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| 今後の研究の推進方策 |
1. ケーラーリッチ流のハミルトン変形に対して基礎理論を構築する．特にエントロピー汎関数と満淵汎関数，ケーラーリッチ流のハミルトン変形上での単調性と非崩壊定理を確立する．自己相似解の特徴付けと一意性を確立する．2. ケーラーリッチ流のハミルトン変形による「スカラー曲率の局在化」の幾何解析的理論を完成させる．3. ハミルトン平均曲率流を応用して，複素射影空間内の極大トーラス軌道のハミルトン体積最小性を証明する．4. ルジャンドル超関数の理論によって3の問題はトーラス軌道によるバンドル構造とそのハミルトン変形に含まれるボーア・ゾンマーフェルトファイバーによる実量子化に伴う射影埋め込みの列と関連がつき，極大トーラス軌道とそのハミルトン変形を射影埋め込みの像を通して体積比較することで解決する．しかし，この方法は一般のトーリック多様体に拡張できない．一方，ハミルトン平均曲率流は一般のトーリック多様体でも定式化できる．よって，これらの方法論を比較することは面白い問題だろう．
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| 次年度の研究費の使用計画 |
1. 2012年に3回予定している海外渡航（中国，ドイツ，カナダ）の渡航費用にあてる．2. 研究会への出席のための旅費．3. セミナーに招待講演者の旅費サポート（必要な場合）．4. 指導する大学院生の旅費補助．
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