離れた曲線を繋ぐ極小曲面の非存在

2011 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 23654026
• 研究機関: 大阪大学
• 研究代表者: 小磯 憲史 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70116028)
• 研究期間 (年度): 2011-04-28 – 2014-03-31
• キーワード: 平均曲率一定曲面

研究概要

3 次元 Euclid 空間において次の定理を得た．定理: xy 平面における原点中心，半径 1/2 の円板を底面とする円筒のうち中心 (1,0,0) 半径 1 の球の上部と中心 (-1,0,0) 半径 1 の球の下部にはさまれる領域を Ω とし，Ω のうち原点中心勾配 π/2 の円錐の内部にある領域の連結成分を D1, D2 とする．そのとき，D* 内の閉曲線 Γ* のみを境界にして Ω に含まれる平均曲率 1 のコンパクト曲面は連結ではない．この結果は極小曲面の場合と比べると弱い．負定曲率 (-1) 空間における平均曲率 1 の曲面を考えることが自然であることを示唆している．

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

研究実績の概要の通り，初年度において期待した定理を得ることができた．また，それによって次年度以降の目標である，Euclid 空間以外への拡張への手がかりを得ることができた．

今後の研究の推進方策

当初の目標通り，高次元および 3 つ以上の閉曲線を境界とする場合に拡張をする．また，自然な設定と考えられる負定曲率空間の場合に極小曲面との類似性の高い結果を得る．

次年度の研究費の使用計画

幾何学関係図書および解析学関係図書を購入する．また，研究打ち合わせのための旅費を支出する．