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2012 年度 実施状況報告書

非平衡成長パターンを実現する疑似解と方程式集合の構成

研究課題

研究課題/領域番号 23654042
研究機関明治大学

研究代表者

二宮 広和  明治大学, 理工学部, 教授 (90251610)

研究分担者 上山 大信  明治大学, 理工学部, 准教授 (20304389)
若狭 徹  九州工業大学, 工学研究院, 准教授 (20454069)
キーワード応用数学 / パターン形成 / 国際研究者交流(台湾)
研究概要

まず,昨年度の研究で用いたwave front interaction modelとFitzHugh-Nagumo方程式の関係を用いて回転スパイラル解の存在を示した.これは,Y.Y. Chen氏とJ.S. Guo氏との共同研究で,フロント波とバック波をもつ自由境界問題の一定速度で回転するスパイラル解の構成に成功した.この研究に引き続き,wave front interaction modelとFitzHugh-Nagumo方程式の関係を調べた.wave front intercation modelはFitzHugh-Nagumo 方程式の特異極限系にはなっていない.どのような修正が必要なのかを調べ,特異極限系としてwave front interaction modelを導出するような反応拡散系を得ることに成功した.このことを踏まえ,FitzHugh-Nagumo型方程式の特異極限として得られる自由境界問題から孤立進行波解を得ることに成功した.現在,論文を執筆中である.
複素数に拡張した反応拡散系を考え,その解の挙動について調べた.解が実数のときは,爆発するような系になっているが,系を複素数へ拡張すると,正の実軸をまたがないような初期値では解が原点に収束することを示し,論文に発表した.
若狭(研究分担者)は単独反応拡散方程式の完全解について研究を行った. 本研究課題に関して, 単独反応拡散方程式の完全解の厳密解表示について考察し, 研究打ち合わせを行った.厳密解を求める, という枠組みにおいては時間発展する全域解と定常解の扱いは大きく異なるが, 両者を一貫して考察可能な枠組みを調べた.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

wave front interaction modelの回転スパイラル解や孤立進行波解の構成は,FitzHugh-Nagumo方程式の特殊な疑似解となっている.研究計画とは異なる部分もあるが,形をもった疑似解の構成に成功しているので,概ね順調に進展していると評価できる.これらの特殊な解を合成することにより,より複雑なパターン解構成法の開発が今後の課題である.
中間的な方程式の利用という新しい方法によって疑似解の構成できており,申請時の計画での申請時の計画にあるStep 3「方程式系の導出過程から疑似解の構成へのフィードバック」を進めている状況である.Step1「疑似解の構成」,Step2「疑似解のみたす方程式系の導出」については,まだ成功しているとは言えない.

今後の研究の推進方策

特殊な解を合成する手法の開発として,これまで研究を行ってきた階段状解の構成の手法が利用できると考えられる.これは,M. IidaおよびR. Luiとの共同研究で解の値(レベル)によって,伝播速度が異なるような方程式および解の構成を行っている.この研究打ち合わせを今年度中に行うことができなかったため,2年間の研究予定であったが,次年度に延長して研究を進める.また,Step 1「疑似解の構成」からStep 2「疑似解のみたす方程式系の導出」も同時に進めていく必要がある.

次年度の研究費の使用計画

特殊な解の合成を行う手法として,これまで研究を進めてきた階段状解の構成手法の適用を検討する.そのため,宮崎大学の飯田教授と研究打ち合わせを行う.
また,FitzHugh-Nagumo方程式の回転孤立疑似解の構成を行うため,Y.Y. Chen氏やJ.S. Guo氏と連絡を取り合う.
これらの研究に加えて,疑似解を対応する方程式集合の性質について研究(Step 4)を研究分担者と進める予定である.そのため,これまでの文献整理も必要となってくる.

  • 研究成果

    (8件)

すべて 2013 2012

すべて 雑誌論文 (5件) (うち査読あり 5件) 学会発表 (3件) (うち招待講演 1件)

  • [雑誌論文] Convergence and blow-up of solutions for a complex-valued heat equation with quadratic nonlinearity2013

    • 著者名/発表者名
      J.S. Guo, H. Ninomiya, M. Shimojo and E. Yanagida
    • 雑誌名

      Transactions of the American Mathematical Society

      巻: 365, Number5 ページ: 2447-2467

    • 査読あり
  • [雑誌論文] A self-organized mesh generator using pattern formation in a reaction-diffusion system2013

    • 著者名/発表者名
      H. Notsu, D. Ueyama, and M. Yamaguchi
    • 雑誌名

      Applied Mathematics Letters

      巻: 26(2) ページ: 201-206

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Modeling contact inhibition of growth: traveling waves2013

    • 著者名/発表者名
      M.Bertsch, M.Mimura, T.Wakasa
    • 雑誌名

      Networks and Heterogeneous media

      巻: 8 ページ: 131-147

    • DOI

      10.3934/nhm.2013.8.131

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Existence and uniqueness of rigidly rotating spiral waves by a wave front interaction model2012

    • 著者名/発表者名
      Y.Y. Chen, J.S. Guo and H. Ninomiya
    • 雑誌名

      Physica D

      巻: 241, Issue20 ページ: 1758-1766

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Exact traveling wave solutions of three species competition-diffusion systems2012

    • 著者名/発表者名
      C.-C. Chen, L.-C. Hung, M. Mimura, and D. Ueyama
    • 雑誌名

      Discrete and continuous dynamical systems B

      巻: 17 ページ: 2653-2669

    • DOI

      10.3934/dcdsb.2012.17.2653

    • 査読あり
  • [学会発表] Diffusion-induced bifurcations from infinity2012

    • 著者名/発表者名
      H. Ninomiya
    • 学会等名
      5th Euro-Japanese Workshop on Blow-up
    • 発表場所
      CIRM Luminy (Marseille, France)
    • 年月日
      20120910-14
  • [学会発表] Diffusion-induced bifurcations from the stationary solutions and infinity2012

    • 著者名/発表者名
      H. Ninomiya
    • 学会等名
      Nonlinear Partial Differential Equations, Dynamical Systems and Their Applications
    • 発表場所
      Kyoto University
    • 年月日
      20120903-20120906
    • 招待講演
  • [学会発表] Diffusion-induced blowup and bifurcation from infinity of reaction-diffusion systems2012

    • 著者名/発表者名
      H. Ninomiya
    • 学会等名
      The 9th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and applications
    • 発表場所
      Orlando, Florida, USA
    • 年月日
      20120701-05

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公開日: 2014-07-24  

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