| 研究概要 |
線形計画問題（LP）のピボットアルゴリズムの振る舞いを記述したグラフをLPグラフという。ピボット規則の振る舞いに関する殆どの研究において，特徴付けが与えられていないLPグラフ上ではなくAUSO上で解析されてきたが，AUSOの集合はLPグラフの集合より十分大きいため，本来はLPグラフ上で解析が行われるべきである。そこで，本年度はLPグラフと超平面配置との対応から有向マトロイド理論を通じてLPグラフの列挙法を構築することを目指し，以下4つの方向性で研究を進めた。 第1に，一連の履歴依存型ピボット規則のAUSO上での振る舞いを解析し，[Aoshima, Avis, Deering, Matsumoto, Moriyama (2011)]で発表した。本論文では，計算時間を要する代表的な振る舞いとして，AUSO上でのハミルトニアンパスを中心に解析した。第2に，有向マトロイド理論を通じてLPグラフの列挙法を構築するにあたり，有向マトロイドの疎構造であるマトロイドの効率良い列挙法を構築し，その列挙結果を用いて計算幾何の未解決問題を部分的に解決した。本結果について論文[Matsumoto, Moriyama, Imai, Bremner (2011)]にまとめ公表した。第3に，LPグラフの性質の1つであるシェリング性[Avis, Moriyama(2009)]を解明すべく，組合せ論の基本的性質であるシェリングに立ち戻り，同性質を判定する効率良いアルゴリズムを構築した。本結果を[Moriyama(2011)]にまとめ公表した。第4に，LPグラフと超平面配置の対応という幾何学的視点の重要性から，他の幾何学的視点を模索すべく，計算幾何の古典的な問題に取り組み，論文[Tanuma, Imai, Moriyama (2011)]で公表したほか，[森山園子(2011)]で発表した。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は，本年度の研究結果を土台にして，一連の履歴依存型ピボット規則のLPグラフ上での振る舞いの解析という本研究課題の目標に向かって研究を進める。 まず，本年度に構築したマトロイドの列挙法を土台として，これまで積み重ねてきた有向マトロイド理論に関する知見を駆使して，実現可能な有向マトロイドの列挙法を考案し，LPグラフを列挙する。LPグラフ列挙法を実装するにあたり，列挙法の特殊性から従来のデータ構造とは異なるデータ構造を開発のうえ，高速かつ大規模な列挙を行うソフトウエアを作成する。ソフトウエアおよびLPグラフの列挙結果は共に公開し，研究者間での幅広い普及を目指す。 次に，LPグラフ上で一連の履歴依存型のピボット規則の計算解析を行い，ピボット規則の適用回数が指数オーダーとなる例が大量に生成される場合とそうでない場合を調査して，以下２つの方針で研究を進める。適用回数が指数オーダーとなる例が大量に生成された場合は，ピボット履歴を解析することで，これらの例の次元に関する無限族を生成することを目指す。それ以外の場合は，Holt-Klee性[Holt, Klee (1998)]とシェリング性[Avis, Moriyama (2009)]等のグラフの線形性を記述した性質を用いて，多項式時間であることの証明を目指す。
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