| 研究概要 |
当該研究者は元々はp進Hodge理論をおもに研究してきたが, 古典的な複素多様体上のHodge理論に目を向けることとなった. このHodge理論はDeligneの混合Hodge理論によってもはや完成したものであるという認識が一般的であるが, サイクルの観点からするとBBMフィルターなどとの関係から十分には満足できるものではないという側面もあり, 当該研究者はこの側面に興味を持ち, Deligneの混合Hodge理論の改良の研究を行うことになった. Deligneの混合ホッジ理論におけるカテゴリーでは, 幾何的な情報が乏しく, regulator map (サイクルの情報を持つモチーフの圏) → (混合ホッジ構造のなす圏) を通して, サイクルの情報を捉えることが困難であった. 具体的に言うと右の混合ホッジ構造のなす圏において, ２次以上のextension類が消えてしまい, 混合ホッジ構造のなす圏から得られるサイクルの情報はchern mapを通した0次のextension類とAbel-Jacobi mapを通した1次のextension類だけである. この混合ホッジ構造のなす圏を幾何的に肉付けすることによって, ひとつの候補を提示することに成功した.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
上で述べたように, 混合ホッジ構造のなす圏を幾何的に肉付けすることによって, ひとつの候補を提示することに成功したが, ここで用いたサイクルの向きを変えるという操作は物理学の場の量子論における生成・消滅作用素との類似が見られることになった. 現在はその類似について追及するという新たな大きな目標となり, これからの進展が望まれる.
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| 今後の研究の推進方策 |
古くから言われている, ゼータ関数とカシミールエネルギーとの関係のように, 整数論と物理学という一見すれば, 全く関連性のないふたつの分野を関連付けること. また, 上記のHodge理論における新しいカテゴリーと物理学における場の量子論との関係を正しく定めることなどを目標にしていきたい.
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