| 研究課題/領域番号 |
23740003
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
佐垣 大輔 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (40344866)
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| キーワード | アフィン・リー代数 / 量子アフィン代数 / パス模型 / Lakshmibai-Seshadri パス / 量子 Bruhat グラフ / 半無限 Bruhat 順序 / エクストリーマル・ウェイト加群 |
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| 研究概要 |
g をアフィン・リー代数とする．当研究の目標は，g の臨界レベルの既約最高ウェイト表現のパス模型を構成することであるが，この（予想される）パス模型と，レベル・ゼロの優整ウェイトを型とするパス模型の間には，深い関係があると予想している．平成２３年度から平成２４年度の当研究においては，g がねじれのない (untwisted) アフィン・リー代数の場合に，レベル・ゼロの優整ウェイトを型とする Lakshmibai-Seshadri パス (LS パス) を，有限 Weyl 群上の（放物型）Bruhat グラフを用いて記述した．本年度は，レベル・ゼロの LS パスへのルート作用素の作用に注目することによって，この結果に対する別証明を与えることに成功した．また，昨年度までの研究で得られていた，次数関数（＝エネルギー関数）を量子 Bruhat グラフを用いて記述する公式についても再研究し，次数関数の定義により近い，自然な別証明を与えることができた．
ところで，レベル・ゼロの優整ウェイトを型とする LS パスは，量子アフィン代数上のエクストリーマル・ウェイト加群と密接な関係がある．（実際，型がレベル・ゼロ基本ウェイトの場合は，上述の LS パスはエクストリーマル・ウェイト加群の結晶基底の商集合と同型になる．）本年度の当研究では，半無限 Bruhat 順序（および，半無限 Bruhat グラフ）を用いて，新たに，半無限 LS パスを導入し，それら全体のなす集合にクリスタルの構造を与えた．そして，そのクリスタルが，エクストリーマル・ウェイト加群の結晶基底に，クリスタルとして，同型になることを証明した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
「研究実績の概要」に記載したとおり，当研究の目標である臨界レベルのパス模型は，レベル・ゼロ LS パスや半無限 LS パス（＝エクストリーマル・ウェイト加群の結晶基底）と密接に関係していると思われる．実際，半無限 Bruhat 順序は，generic Bruhat 順序という形で，アフィン・リー代数の臨界レベルの表現論に現れる．
今年度までで得られたレベル・ゼロ LS パスや半無限 LS パスについての結果は，当初の研究計画にはなかったものではあるが，当初の研究計画に比べてより効率的であり，かつ，幅広い応用（例えば，量子コホモロジーや半無限旗多様体の幾何学など）が期待できるものである．そこで，達成度を「おおむね順調に進展している。」とする．
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| 今後の研究の推進方策 |
平成26年度は次のような研究を行う．
（１）エクストリーマル・ウェイト加群における Demazure 型部分加群の結晶基底を，平成25年度に得られた半無限 LS パスを用いて記述する．さらにその結果を応用して，次数付き指標が Macdonald 多項式（の特殊化）になるような加群を，エクストリーマル・ウェイト加群の商加群として構成する．
（２）上にも書いた通り，半無限 Bruhat 順序は，当研究の研究対象である臨界レベルの既約最高ウェイト表現と密接な関係がある．そこで，平成25年度に得られた結果を踏まえて，ランク 1 または 2 のねじれのない A 型アフィン・リー代数の場合に，臨界レベルの既約最高ウェイト表現のパス模型を，半無限 LS パスを変形するなどして，構成する．そして，可能であれば，ランクが一般のねじれのない A 型の場合に，同様のパス模型の構成を行う．
（３）（２）の結果を，一般のねじれのないアフィン・リー代数の場合に拡張し，さらにその後，ねじれのある場合についても研究を行う．
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