| 研究概要 |
昨年度までに相対類数の非可除性に関する結果を得た. この結果は古典的な整数論での重要な問題の一つである類数問題の総実体版への一つの部分的結果である. これについて論文を投稿し, またアナウンスを紀要に発表した. 今年度, Ken Ono 教授(Emory 大学)を訪問し, この結果のより深い洞察を含めた共同研究を開始した.
上記の相対類数の非可除性に関する結果は, 半整数ウエイトの Hilbert modular Eisenstein 級数の Fourier 係数に相対類数が出現することを使っていた. 今年度には, 昨年度までに確立した方法を newform に対して応用することで Hilbert modular L-関数の quadratic twist の中心値の mod p での非零性を示すこと, さらに, その結果から, Hilbert modular アーベル多様体の quadratic twist の族の中に, Modell-Weil rank が消えているものがどの程度存在するかを導くことを試み, 考えている総実数体の次数が奇であることなどの強い仮定の下では, 個数の下からの評価を得られた.
さらに詳しくTate-Shafarevich 群の位数の非可除性まで示すには, Hilbert modular なアーベル多様体の real period が quadratic twist でどう変化するか, を確認する必要がある. それを動機に Manin 定数と呼ばれる定数を Hilbert modular なアーベル多様体に対して導入し, それがどうレベルと関係するかという問題も考え始めた.
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