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2012 年度 実施状況報告書

量子群とヘッケ環の幾何学的研究

研究課題

研究課題/領域番号 23740014
研究機関京都大学

研究代表者

加藤 周  京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (40456760)

キーワードaffine Hecke algebra / 局所Langlands対応 / 一般Springer対応 / 例外列 / quasi-hereditary代数 / exotic 冪零錐 / KLR代数
研究概要

今年度は前年度に得られたexotic Springer fiberのホモロジー群の記述の設定を抽象化してLusztigによるいわゆる一般Springer fiberが最高次の項で生成されていることを証明した。また、それにより[Ciubotaru-Kato-Kato, Invent. Math. 2012]によって実質的に得られていた一般Springer fiberのホモロジー群の次数を忘れたときの遷移公式を次数つきの場合に精密化することができた。
これは一般Springer fiberのホモロジー群の古典的な記述であるLusztig-Shojiアルゴリズムをとは本質的に異なる別の記述法が存在することを意味する。また、その証明から先年度得られたLusztig-Shojiアルゴリズムの環論的再解釈が本質的に次数付きHecke環の退化(=affine Weyl群の群環の次数付退化)に関するBrauer-Humphreys相互律に他ならないことを導かれた。
このことはaffine Hecke環よりもずっと広い枠組みにおいて代数の幾何学的実現の存在がその代数に関して古典的なquasi-hereditary代数の一般論の自然な一般化とみなすことができる諸性質を導くことを示唆し、今後さらなる発展が期待されている。
特にこのような状況が成立するaffine Hecke環やKhovanov-Lauda-Rouquier代数などの具体例においては古典的な場合とは異なり非常に多くの本質的に異なるquasi-hereditary代数の一般論の自然な一般化の構造が入るので、そのことを内在的に理解することは(新しい)自然な目標である。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

今年度までの研究によってaffine Hecke環の加群圏がパラメータの変化によってどのように変わるかということが(パラメタが1の冪根でない場合)加群のレベルでは基本的に分かってしまった。
また、当初の計画の枠組みよりもずっと大きな枠組みにおいて本研究と類似の状況が存在しうることも示したため、(何をどう示すべきかという問題はさておき)本研究の本質的な適用可能領域が大幅に増加したと考えられる。

今後の研究の推進方策

今後はもともとの研究計画で中心だったaffine Hecke環だけではなくKhovanov-Lauda-Rouquier代数なども取り扱う。
また、affine Hecke環の記述と有限Hecke環のcellの記述を関連ずける可能性こついても考えたい。

次年度の研究費の使用計画

論文をまとめるためのデスクトップパソコンの購入、および研究発表/研究交流のための旅費に主に使いたい。

  • 研究成果

    (6件)

すべて 2013 2012

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (5件) (うち招待講演 4件)

  • [雑誌論文] Exotic冪零錐と古典型affine Hecke環の表現論2013

    • 著者名/発表者名
      加藤周
    • 雑誌名

      数学

      巻: 65 ページ: 24-43

    • 査読あり
  • [学会発表] A homological study of Green polynomials2013

    • 著者名/発表者名
      加藤周
    • 学会等名
      Algebraic Groups and Representation Theory (A Conference in Memory of Tonny A. Springer)
    • 発表場所
      Hong Kong University
    • 年月日
      20130104-20130109
    • 招待講演
  • [学会発表] Algebraic study of extension algebras2012

    • 著者名/発表者名
      加藤周
    • 学会等名
      Shanghai workshop on Representation Theory
    • 発表場所
      大阪大学
    • 年月日
      20121215-20121216
    • 招待講演
  • [学会発表] A homological study of Green polynomials2012

    • 著者名/発表者名
      加藤周
    • 学会等名
      Workshop on geometric representation theory
    • 発表場所
      京都大学
    • 年月日
      20120924-20120928
  • [学会発表] PBW bases and KLR algebras2012

    • 著者名/発表者名
      加藤周
    • 学会等名
      MSJ-SI 2012 "Schubert calculus"
    • 発表場所
      大阪市立大学
    • 年月日
      20120723-20120727
    • 招待講演
  • [学会発表] A homological study of Green polynomials2012

    • 著者名/発表者名
      加藤周
    • 学会等名
      Workshop on Lie Theory and Representation Theory III
    • 発表場所
      East China Normal University
    • 年月日
      20120617-20120619
    • 招待講演

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公開日: 2014-07-24  

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