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本年度は昨年度に得られた知見に基づき科研費申請当初の研究計画とはだいぶ異なるもののADE型のKhobanov-Lauda-Rouquier代数(以下KLR代数)に対してコストカ関数の遷移公式を導いたのと同じ手法を適用した論文を完成させ、出版した。
この設定においては単純加群、射影加群が各々柏原の意味でのupper/lower大域基底(Lusztigの意味での双対標準基底/標準基底)に対応していることはVaragnolo-Vasserotによる研究でわかっていた。我々の加えた新しい知見はそのような大域基底/標準基底の代数的特徴づけの途中で導入されるいわゆる(双対)Poincare-Birkoff-Witt型基底(以下PBW基底)が上のようなKLR代数に対して他の代数系における標準加群の役割を果たすということである。
このことにおいて著しいことは、元々PBW基底は中間的生成物として割とad hocに導入されたために数多くの異なる取り方が存在することである。報告者は幾何学的手法によりLusztigにより解析された幾何学的状況を代数的に再解釈し、柏原により予想されたADE型KLR代数の大域次元有限性を証明するとともに斉藤鏡映関手とよぶ関手を導入することにより幾何学的設定からはなれた状況にまでPBW基底が標準加群としてのふさわしい役割を果たすという事実を拡張した。このことによりADE型量子群のlower大域基底の双対PBW基底による展開係数が正値になるかというLusztigによる問いを肯定的に解決した。
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