| 研究概要 |
今年度は以下の2つの研究を行った．
權業善範氏（東京大学）との共同研究において，大域的F正則曲面・大域的F分裂曲面の性質を調べた．特に，十分大きな標数pへの還元が大域的F正則曲面になるような標数0の正規射影曲面は，対数的Fano曲面であることを示した．この結果は既に大川新之介氏（大阪大学）によって示されているが，我々の方法は大川氏のものとは全く異なる．大川氏は混標数の変形理論を駆使して証明したが，我々はZariski分解など幾何学的手法を用いた証明を与えた．さらに，標数pへの還元が無限個のpに関して大域的F分裂曲面になるような標数0の正規射影曲面は，対数的Calabi-Yau曲面であることも証明した．これは新しい結果である．大域的F正則曲面と対数的Fano曲面の対応を示すときに用いた手法をさらに発展させ，楕円曲面の場合に帰着し，特異ファイバーの分類を用いて証明する．
さらにBhargav Bhatt, Karl Schwedeとの共同研究において，F特異点と弱還元予想の関係について調べた．弱還元予想とは，昨年度の報告書ではMustata-Srinivas予想と呼んでいた予想であり，標数0の代数閉体上定義されたd次元非特異射影代数多様体Vが与えられたとき，無限個のpに関して，Vの標数pへの還元の構造層のコホモロジーにフロベニウスが全単射で作用する，というものである．弱還元予想が成り立つことと，DuBois特異点とF単射特異点の対応が成り立つことの同値性を証明した．
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