| 研究課題/領域番号 |
23740034
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
加塩 朋和 東京理科大学, 理工学部, 講師 (10403106)
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| 研究期間 (年度) |
2011-04-28 – 2015-03-31
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| キーワード | Ｌ関数 / 周期 / ｐ進Ｌ関数 / ｐ進周期 / スターク予想 / グロス予想 / ガンマ関数 / ｐ進ガンマ関数 |
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| 研究概要 |
申請者の研究テーマは「Ｌ関数と周期の関係及び関連する数論的諸問題」であり、これはＬ関数の特殊値（または微分値）と、ある種の数論的な不変量との関係を明らかにすることを目的としている。そして平成２２年度までに申請者は吉田敬之氏と共同研究を行い、スターク予想やそのｐ進類似であるグロス予想の部分的解決、および問題の精密化を行ってきた。この研究を通して、問題の根本的解決にはＣМモチーフと呼ばれる幾何的対象に関する理論が必要であることが分かっている。以下平成２３年度の研究実績の概要を箇条書きでまとめる。（１）ＣМモチーフの簡単な場合は「フェルマー曲線」と呼ばれる幾何的対象である。このフェルマー曲線上の計算により、円単数やガウス和と言った数論において基本的な不変量の性質を導けることを発見した。ポイントは周期、ｐ進周期、ガンマ関数、ｐ進ガンマ関数を同時に扱うことで、これまでにはない良い性質をもつ幾何的不変量を定義できたことにある。この結果は複数の研究集会で発表し、プレプリントとしてまとめた。（２）「スターク単数の代数性」「志村氏のＣМ周期の単項関係式」及び「多重ガンマ関数の単項関係式」の三つが対応していることを発見した。一方でドリーニュ予想により、志村氏の定義したＣМ周期は代数的ヘッケ指標に付随するモチーフのドラム同型の行列係数として言い換えられ、ＣМ周期に関する結果は、モチーフの幾何的性質に言い換えられる。これらの結果は現在プレプリントにまとめている最中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
申請者の当初の研究計画では「ｐ進多重ガンマ関数の特殊値」と「ＣМ型のアーベル多様体のフロベニウス擬固有値」との間の予想関係式を、一般の場合で調べる予定であった。しかし研究対象を一般のＣМ型のアーベル多様体から、具体的なフェルマー曲線に絞ることで、より精密な計算結果を得ることができた。その結果、平成２３年度に得られた明示式により、今後一般の場合へ拡張するための見通しが非常に良くなった。総合的にみておおむね順調に進展しているといってよい。
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| 今後の研究の推進方策 |
平成２３年度の研究結果をもとに、更に一般の場合への拡張を目指す。例えば、吉田予想がＣМ周期を多重ガンマ関数で書き下しているのに対して、我々の主予想はｐ進ＣМ周期そのものではなくフロベニウス擬固有値に関するものであった。これはグロス‐コブリッツらの古典的な公式の拡張となっており自然な形に見える。しかしより直接的にｐ進ＣМ周期とｐ進多重ガンマ関数との関係を探ることを目標としたい。実際、フェルマー曲線上では、周期、ｐ進周期、ガンマ関数、ｐ進ガンマ関数の特殊値の間に現れる関係式から、ガウス和や円単数などの基本的な不変量の性質が導かれることが示せている。今後更に一般化を目指す。なお平成２４年度には「スターク予想」をテーマとして、研究集会「第２０回整数論サマースクール」を企画する予定である（共同企画者：青木宏樹氏）。自身の研究も含め近年の結果を紹介し、今後の展望を検討したい。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
ＣМ周期やｐ進ＣМ周期に関する研究を行うので、数論幾何、代数幾何等の専門知識が必要となり、専門書の購入が必要となる。またフロベニウス擬固有値や多重ガンマ関数、ｐ進多重ガンマ関数の数値計算のため、計算機や周辺機器の購入を予定している。さらに得られた結果の研究発表や、専門家との研究討論のため、国内外への旅費が必要となる。これらに加えて研究集会「第２０回整数論サマースクール（スターク予想）」（共同企画者：青木宏樹氏）の準備や開催のため、関連する費用が必要である。とくに報告集の出版費が必要となる。
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