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2012 年度 実施状況報告書

測度距離空間の幾何学と最適輸送理論

研究課題

研究課題/領域番号 23740048
研究機関京都大学

研究代表者

太田 慎一  京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00372558)

キーワードフィンスラー幾何学 / リーマン幾何学 / 曲率 / 最適輸送理論
研究概要

今年度は主にフィンスラー幾何学及び測度距離空間上の幾何解析の研究を行った。
まずフィンスラー幾何学については、前年度に本研究課題の目標の1つであったCheeger-Gromoll型の分解定理を既に得ていた。今年度はその後の展開の1つとして、近藤慶氏、田中實氏と共にToponogov型の三角形比較定理のフィンスラー多様体への拡張と、その応用を研究した。Toponogov型の三角形比較定理はリーマン幾何学では断面曲率の下限を特徴づける古典的で重要な性質であるが、そのままではフィンスラー多様体に拡張できないことが容易にわかる。我々の研究では比較定理に現れる「角度」をフィンスラー多様体で適切に解釈することで、ある種の一般化された三角形比較定理を得た。定理の仮定はとても強いものではあるが、リーマン多様体ではないフィンスラー多様体も対象に含んでいる。また、この三角形比較定理を用いて、有限位相型定理などの幾何学的な応用を得た。
また、Alexandru Kristaly氏と共同で、測度距離空間でのCaffarelli-Kohn-Nirenberg不等式についての研究も行った。具体的には、体積の増大度を上から押さえた測度距離空間において、Sobolev不等式のある種の一般化であるCaffarelli-Kohn-Nirenberg不等式が成り立つとき、その空間はユークリッド型の体積増大度を持つことを示した。これは、非負リッチ曲率を持つリーマン多様体で知られていた性質を、空間を測度距離空間に、仮定を体積増大度の上限にそれぞれ一般化したものである。幾何学的な応用として、非負の重みつきリッチ曲率を持つフィンスラー多様体についてのある種の剛性定理も得た。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

今年度の研究成果は共同研究者からもたらされたテーマに沿って行われたものであり、前年度までの研究と直接の関係はないが、内容は本研究課題に関係するものである。平行して前年度までの研究の発展にあたる研究も行っており(「今後の研究の推進方策」の欄に後述)、今年度は次年度以降のその研究のための準備段階にあったと位置づけられる。

今後の研究の推進方策

「研究実績の概要」で述べた成果を得たあと、フィンスラー構造をはるかに一般化したハミルトン系についての曲率の研究を始めており、次年度前半はこれに集中する予定である。ハミルトン系における曲率の概念は、AgrachevとGamkrelidzeにより、制御理論の視点から導入された。最近Leeによりリッチ流の種々の単調性定理への応用が与えられ、幾何学的な面からの関心も高まっている。筆者はフィンスラー多様体における重みつきリッチ曲率の知識と技法を生かしてハミルトン系の研究を行っており、既に幾つかの成果を得ている。
その他には、フィンスラー幾何ではリッチ流や(擬)アインシュタイン計量の研究、極小曲面の正則性の研究にも取り組む予定である。一方、最適輸送理論に関連しては、ここ数年で「リーマン型の曲率次元条件」と呼ばれる性質の研究が進み、Cheeger-Gromoll型の分解定理などの興味深い結果が続々と得られている。これについても研究を進めていく予定である。

次年度の研究費の使用計画

該当なし。

  • 研究成果

    (13件)

すべて 2013 2012 その他

すべて 雑誌論文 (4件) (うち査読あり 4件) 学会発表 (8件) (うち招待講演 7件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] Heat flow on Alexandrov spaces2013

    • 著者名/発表者名
      Nicola Gigli, Kazumasa Kuwada, Shin-ichi Ohta
    • 雑誌名

      Comm. Pure Appl. Math.

      巻: 66 ページ: 307-331

    • DOI

      10.1002/cpa.21431

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Barycenters in Alexandrov spaces of curvature bounded below2012

    • 著者名/発表者名
      Shin-ichi Ohta
    • 雑誌名

      Adv. Geom.

      巻: 12 ページ: 571-587

    • DOI

      10.1515/advgeom-2011-058

    • 査読あり
  • [雑誌論文] First variation formula in Wasserstein spaces over compact Alexandrov spaces2012

    • 著者名/発表者名
      Nicola Gigli, Shin-ichi Ohta
    • 雑誌名

      Canad. Math. Bull.

      巻: 55 ページ: 723-735

    • DOI

      10.4153/CMB-2011-110-3

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Non-contraction of heat flow on Minkowski spaces2012

    • 著者名/発表者名
      Shin-ichi Ohta, Karl-Theodor Sturm
    • 雑誌名

      Arch. Ration. Mech. Anal.

      巻: 204 ページ: 917-944

    • DOI

      10.1007/s00205-012-0493-8

    • 査読あり
  • [学会発表] On Ricci curvature for Lagrangian/Hamiltonian systems2012

    • 著者名/発表者名
      Shin-ichi Ohta
    • 学会等名
      ERC Workshop on Optimal Transportation and Applications
    • 発表場所
      Centro De Giorgi, Pisa, Italy
    • 年月日
      20121105-20121105
    • 招待講演
  • [学会発表] Ricci curvature in Finsler geometry and applications2012

    • 著者名/発表者名
      Shin-ichi Ohta
    • 学会等名
      MSJ-KMS Joint Meeting
    • 発表場所
      九州大学
    • 年月日
      20120917-20120917
    • 招待講演
  • [学会発表] Ricci curvature in Finsler geometry and applications2012

    • 著者名/発表者名
      Shin-ichi Ohta
    • 学会等名
      The eighth China-Japan Friendship Conference on Differential Geometry
    • 発表場所
      Sichuan University, Chengdu, China
    • 年月日
      20120908-20120908
    • 招待講演
  • [学会発表] Ricci curvature in Finsler geometry and applications2012

    • 著者名/発表者名
      Shin-ichi Ohta
    • 学会等名
      The Fourth Geometry Meeting dedicated to the centenary of A. D. Alexandrov
    • 発表場所
      Saint-Petersburg, Russia
    • 年月日
      20120823-20120823
  • [学会発表] Curvature-dimension condition and heat flow on metric measure spaces2012

    • 著者名/発表者名
      Shin-ichi Ohta
    • 学会等名
      変分問題の展開ー確率論と交錯する変分問題
    • 発表場所
      京都大学
    • 年月日
      20120612-20120612
    • 招待講演
  • [学会発表] Ricci curvature bounds and heat flow on metric measure spaces2012

    • 著者名/発表者名
      Shin-ichi Ohta
    • 学会等名
      Colloquium
    • 発表場所
      National Taiwan University, Taipei
    • 年月日
      20120604-20120604
    • 招待講演
  • [学会発表] Splitting theorems for Finsler manifolds of nonnegative Ricci curvature2012

    • 著者名/発表者名
      Shin-ichi Ohta
    • 学会等名
      Conference on Geometry
    • 発表場所
      京都大学
    • 年月日
      20120528-20120528
    • 招待講演
  • [学会発表] Splitting theorems for Finsler manifolds of nonnegative Ricci curvature2012

    • 著者名/発表者名
      Shin-ichi Ohta
    • 学会等名
      Optimal Transportation and Differential Geometry
    • 発表場所
      Banff International Research Station for Mathematical Innovation and Discovery, Banff, Canada
    • 年月日
      20120521-20120521
    • 招待講演
  • [備考] Web Page of Shin-ichi OHTA

    • URL

      http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~sohta/

URL: 

公開日: 2014-07-24  

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