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今年度はMiklos Palfia氏（京都大学）と共同でCAT(1)空間上の弱凸関数の勾配流を研究し，論文を執筆した．CAT(1)空間とは，最短線で描いた三角形が単位球面より「痩せている」という意味で断面曲率が1以下の距離空間である．これより狭いクラスであるCAT(0)空間（三角形がユークリッド平面より痩せている，断面曲率が0以下の距離空間）については，10年ほど前までのJostやMayer，Ambrosio-Gigli-Savareの研究により，弱凸関数の勾配流の存在や一意性，関数の凸性に応じた収縮性などが知られていた．彼らの手法は，発展方程式の解の解析などに使われるDe Giorgiの「minimizing movement」の理論に沿ったものであるが，CAT(0)空間でしか成り立たない距離関数の強い凸性を使っており，そのままではCAT(1)空間に適用できなかった．Palfia氏との共同研究では，論文中で「可換性」と呼んだCAT(1)空間が満たす性質に着目することで，CAT(1)空間にMayerらの理論を拡張することに成功した．可換性は距離関数の第一変分についての等式であり，1点から出発する2つの最短線の間の角度が定義できるか（空間が「リーマン的」か）に関わる，それ自体興味深い概念である．可換性を用いてMayerらの理論をCAT(1)空間に拡張する方法はシンプルなもので，リーマン的な空間の本質を突いたものと言える．
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