| 研究課題/領域番号 |
23740055
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| 研究機関 | 香川大学 |
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研究代表者 |
野原 雄一 香川大学, 教育学部, 准教授 (60447125)
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| キーワード | 完全可積分系 / トーリック退化 |
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| 研究概要 |
旗多様体上の完全可積分系であるGelfand-Cetlin系は、その像の境界上にトーラスでないLagrangeファイバーを持つ。このようなファイバーはトーリック多様体の運動量写像の場合には現れないものである。この非トーラスLagrangeファイバーに対するFloer理論、およびそのミラー対称性との関係について研究した。これまでに、Gelfand-Cetlin系のLagrangeトーラスファイバーに対するFloer理論（またはStrominger-Yau-Zaslow予想）により、ミラー対として代数的トーラス（の開集合）とその上のスーパーポテンシャルが得られることが分かっている。一方、旗多様体の場合にミラー対称性の正しい対応を成り立たせるためには、代数的トーラスの部分コンパクト化を考える必要があることが知られている。この際に付け加えられた“無限遠集合”に含まれる情報は、Gelfand-Cetlin系の非トーラスLagrangeファイバーと関係していると期待できる。今年度は、3次元の完備旗多様体と、4次元ベクトル空間内の2次元部分空間全体のなすGrassmann多様体の場合に、非トーラスLagrangeファイバーのFloerコホモロジーを計算した。また、5次元空間内の2次元部分空間のなすGrassmann多様体の場合にもFloerコホモロジーに対する弱い形の結果を得た。いずれの場合にも、Floerコホモロジーが非自明になる非トーラスファイバーが、ミラー対のスーパーポテンシャルの臨界点のうち“無限遠集合”に含まれるものと対応している。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
トーラスではないLagrangeファイバーはトーリック多様体の場合には現れないものであり、それらを調べることは一般の場合の完全可積分系とミラー対称性の理解のためには欠かせないものである。非トーラスファイバーの研究は当初の計画には含まれないものであるが、研究の進展に伴いその重要さが明確になってきたこと、研究に必要な結果が揃ってきたことなどの理由で、この研究を優先することとした。そのため当初の計画の内容には遅れが生じているが、一般の場合の完全可積分系を理解するという目的に沿った結果が得られたと考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
より高次元の場合にGelfand-Cetlin系の非トーラスLagrangeファイバーに対するFloer理論の研究を続ける。
また、これまでに構成したトーリック退化とは異なる退化を用いて完全可積分系を調べる。これは当初の計画に含まれるK3曲面などの退化の局所的なモデルを考えることであり、また旗多様体のミラー対称性のより深い理解にもつながる問題でもある。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
今年度は比較的近い場所で開催された研究集会が多かったため、旅費の額が当初の想定を下回った。
次年度は海外で開催される研究集会に参加する予定が複数あり、必要な旅費が多くなると見込まれるため、今年度の未使用額は次年度の旅費にあてる。
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