| 研究課題/領域番号 |
23740057
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| 研究機関 | 首都大学東京 |
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研究代表者 |
酒井 高司 首都大学東京, 理工学研究科, 准教授 (30381445)
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| 研究期間 (年度) |
2011-04-28 – 2015-03-31
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| キーワード | 微分幾何 / 対称空間 / Calabi-Yau多様体 / Lagrange部分多様体 |
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| 研究概要 |
階数1のコンパクト型対称空間の余接束にはStenzelが構成した余等質性1の完備なRicci平坦Kahler計量が入る．このStenzel計量の対称性に着目し，運動量写像を用いた手法によって，n次元球面の余接束内にSO(p)×SO(n-p)の作用で不変な余等質性1のLagrange部分多様体を構成した．これらのLagrange部分多様体がさらに特殊Lagrange部分多様体になるための条件は常微分方程式によって記述できる．この常微分方程式の解を解析することにより、特殊Lagrange部分多様体の特異点の様子および無限遠での漸近挙動を観察した．特にSO(p)×SO(n-p)がabelianである場合，すなわちp=q=2またはp=1,q=2のとき，球面の余接束に特殊Lagrange部分多様体によるfoliationが構成される．ただし，このとき特異点をもつleafが現れる．この結果は橋本要氏（大阪市立大学）との共同研究で得られた． Floerホモロジーはシンプレクティック多様体内の2つのLagrange部分多様体の組に対して定義される不変量である．入江博氏（東京電機大学），田崎博之氏（筑波大学）との共同研究で，単調なコンパクト型Hermite対称空間において，互いに合同とは限らない2つの実形の組に対するFloerホモロジーを計算した．これにより，既約なコンパクト型Hermite対称空間の実形の組に対して，Arnold-Givental不等式の一般化が得られた．その応用として，複素二次超曲面の実形のHamilton変形の下での体積の下からの評価を得た．特に，複素二次超曲面内に実形として埋め込まれている球面はHamilton体積最小であることが分かった．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
余等質性1の特殊Lagrange部分多様体に関する研究は，球面の余接束の場合にSO(p)×SO(n-p)で不変なものを分類することができ論文として発表した．その他の階数2のコンパクト型対称空間の線形イソトロピー表現によって不変な余等質性1の特殊Lagrange部分多様体についても研究を進めており，既にいくつかの結果が得られている． 実形の交叉に関する研究も，コンパクト型Hermite対称空間においては十分な結果が得られ，論文および各所の研究集会で発表することができた．
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| 今後の研究の推進方策 |
橋本要氏（大阪市立大学）との余等質性1の特殊Lagrange部分多様体に関する共同研究を継続する．運動量写像を用いる手法により，球面の余接束内において階数2のコンパクト型対称空間の線形イソトロピー表現によって不変な余等質性1の特殊Lagrange部分多様体について研究を行う． 入江博氏（東京電機大学）・田崎博之氏（筑波大学）との共同研究を継続する．コンパクト型Hermite対称空間の2つの実形の交点数が，それらの2-numberより小さくなることがあるが，その理由を明らかにする．また，複素旗多様体内の実形の交叉およびFloerホモロジーを調べる． 秋葉原セミナーおよび研究集会「部分多様体論・湯沢」を開催し，国内外の研究者たちと連携・交流を深めることにより，研究を活発に推進する．
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| 次年度の研究費の使用計画 |
国内外の研究集会での研究発表，情報収集および共同研究者との研究打ち合わせのための国内出張・海外出張を行う． 秋葉原微分幾何セミナーおよび研究集会「部分多様体論・湯沢」を開催する． 研究資料となる書籍を購入する．
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