| 研究概要 |
結び目とは閉じた紐のことであり，紐が２つ以上有限個あるときは絡み目と呼ぶ。良い３次元の図形である、向き付け可能な閉３次元多様体（以下３次元多様体と呼ぶ）は、平べったい紐、すなわち帯状の結び目や絡み目で表示される。２つの３次元多様体が同値であることは、それぞれに対応する２つの結び目を使った表示が、ある２種類の変形操作で移り合うことと同値である。本研究では、研究課題「３次元多様体の量子不変量のカテゴリー化」に向けてこの２種類の変形操作に関して、結び目の量子不変量を導くホモロジー群がどのような振る舞いをするかを詳しく調べた。３次元多様体の量子不変量としてWitten-Reshetikin-Turaev不変量を考え、対応する結び目の量子不変量であるジョーンズ多項式及びその一般化である色つきジョーンズ多項式を考察した。研究成果を具体的に述べるため、ジョーンズ多項式を導くカテゴリー化であるホモロジー群をKh（J）、色つきジョーンズ多項式を導く、報告者による新しいカテゴリー化であるホモロジー群をKh（CJ）と書き、上記の３次元多様体を変えない局所的な変形操作をK1、K2と書くことする。主に次の３つの新結果を得た。
[1] K１はKh（J）の次数がある規則でスライドすることに対応する。
[2] いくつかのKh（CJ）を足し上げたもの（直和）はK2で不変である。
[3] １本の紐をn重平行に増やしたKh（J）を作る、（複体と呼ばれる）幾何的対象をCKh（J, n）と書くとき、CKh（J, n）からCKh（J, n－2）への関手（ある対象から別の対象に類似の構造を移すもの）を構成した。
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