|
本研究の目的は，非線形楕円型偏微分方程式の解の部分多様体への集中現象など非線形偏微分方程式における種々の集中・振動現象を，変分法，リャプノフ・シュミットの縮約法，分岐理論，不変多様体理論，漸近展開法などの手法により解明することである。
ポテンシャル関数がユークリッド空間における$q_k$次元の滑らかでコンパクトな framed 部分多様体上で0となるような臨界周波数の場合を考察した。ここで部分多様体が framed であるとは，その法バンドルが自明であることをいう。この場合，ポテンシャルの零点集合の多様体は，ユークリッド空間のコンパクトな部分多様体の族の中で，ポテンシャル関数の「あるべき」を重みに持つ体積汎関数の極小点になっている。臨界周波数の場合の極限問題は，ポテンシャル関数の下限が正の場合とはまったく異なる。臨界周波数の場合に非自明な極限問題を得るためにはスケーリング変換が必要である。多様体上の点によらないスケーリングで極限問題を得るためにポテンシャル関数が多様体の近傍で多項式オーダーで減衰することを仮定する。以上のような臨界周波数の場合で，ポテンシャル関数の零点の連結成分がコンパクトで滑らかな framed 部分多様体であるものが複数個ある場合に，それぞれの多様体から離れると指数的に減衰していて，各多様体のまわりでの解の極限プロファイルはその余次元と同じ次元の空間における正値球対称解となっているような正値解について考察した。リャプノフ・シュミットの縮約法を用いることにより，上の条件を満たす正値解を持つような微小パラメーターの値で0に近づく列が存在することを示した。
|
