| 研究概要 |
本年度の成果の一つは，時間2次精度の特性曲線有限差分スキームを提案し，離散L2理論を構築したことです．特性曲線有限要素法では合成関数が現れるが，その合成関数は各三角形要素上において滑らかではないために，その積分を計算機上で厳密に再現することは困難です．これにより，実計算での数値積分に注意が必要であることが報告されています. 開発したスキームは有限差分法を用いるため，積分は不要です．よって，理論と実計算が完全に一致します．特性曲線法に基づくスキームの利点，すなわち連立一次方程式の係数行列の対称性，を維持しているため，その求解は高速です．また，時間2次精度の実現には，Rui-Tabata[2002, Numerische Mathematik] の結果を参考にして，通常のCrank-Nicolson法を時空間移動する特性曲線に沿ったものに拡張しています．解析には離散的なL2理論を用いており，最大値原理が成り立たない問題を意識したものとなっています．同理論を展開してスキームの安定性・収束性を示して，数学的に正当化しました．既に開発した安定化特性曲線有限要素法，野津-田端[2008, 日本応用数理学会論文誌], Notsu[2008, Trans. JSCES], は3次元問題を意識した，流速・圧力ともに四面体１次要素を用いたスキームです．同スキームを基礎として，熱対流問題の計算スキームを開発しました．開発したスキームは流速・圧力・温度全てに四面体１次要素を利用したスキームであり，3次元問題に有用です．同問題に現れる2つの物質微分項を，ともに特性曲線法を用いて離散化することにより，スキームは対称となっており，かつ計算負荷は半減しています．実際に2，3次元問題の数値計算を行い，有用性を確認しました．
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