| 研究概要 |
今年度はスペクトル半径に関する等距離写像の研究を主に行った．まずσをスペクトルとするとき，Aのすべての元a,bに対して σ(S(a)S'(b)) = σ(T(a)T'(b))を満たす全射S, S': A → B及びT, T':A → B' の構造を解明し，B,B' が単位的半単純可換Banach環のとき，より一般的な結果が得られた．具体的には，Aが単なる添え字集合で，スペクトル半径rに関して r(S(a)S'(b)-e)=r(T(a)T'(b)-e)がAのすべての元a,bに対して成り立つとき，SとT及びS'とT'は本質的に荷重合成作用素を用いて表されることを示した．ただしeは単位元である．この定理により，これまでの単位的半単純可換Banach環の間のスペクトル保存写像に関する結果を統一することが可能となった．その後，単位元の存在を仮定せずに，関数環の間の最大値ノルムに関する全射等距離実線形写像の構造を決定した．このような写像は既存の結果とほぼ同様の形をしたものしかなく，荷重合成作用とその複素共役によって表現されることを示した．ここで得られた等距離写像の表現はChoquet境界上で成り立つことを示したが，それがShilov境界上に拡張出来るか，さらに極大イデアル空間上でも成立するのかは解明出来ておらず今後の課題である．この定理の直接の系として，単位元をもつとは限らない半単純可換Banach環の間の，スペクトル半径に関する全射等距離写像の構造が解明された．
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