| 研究課題/領域番号 |
23740111
|
|---|
| 研究機関 | 東京工業大学 |
|---|
研究代表者 |
鈴木 政尋 東京工業大学, 情報理工学(系)研究科, 助教 (30587895)
|
|---|
| キーワード | Euler-Poisson equations / 安定性解析 / 漸近解析 |
|---|
| 研究概要 |
半導体工学・プラズマ物理に現れる双曲・楕円型連立方程式系で与えられるモデルに対する初期値境界値問題の解の挙動を解析することが本研究の目的である．平成24年度は, プラズマが接触する固定壁付近に形成されるシースの数学解析に注力した．
プラズマ物理では，シースが形成される為の条件としてBohm条件が提案されている．この条件は，プラズマ中の正イオンが極超音速でシースに流入しなければならないことを意味する．平成23年度までの代表者の研究により, プラズマ中に単一種類の正イオンのみが存在する場合をモデル化した偏微分方程式に対して，Bohm条件は定常解が存在して時間的に安定であるための十分条件であることが示されている．さらに，上述のモデル方程式を用いて，シースとプラズマが遷移している状態を数値的に解析している．その結果，モデル方程式の解は，時間経過とともに定常解と希薄波の重ね合わせに漸近している様子が見受けられている．平成24年度は，この事実を数学的に証明することに取り組んだが，本質的な解決には至っていない．
一方，本研究の着想の段階では予想していなかった新たな成果が得られている．工学でプラズマを応用するほとんどの場合は，プラズマ中に複数種類のイオンが混在する．そのため，1990年代にプラズマ物理では，Bohm条件は複数種類のイオンが存在する場合を含む形に一般化されている．平成24年度は，複数種類のイオンに対するBohm条件の数学的正当化にも取り組み，一般化されたBohm条件下でモデル方程式に定常解が存在して時間的に漸近安定であることが証明できた．
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
単一種類の正イオンに対するモデル方程式については，シースとプラズマが遷移している状態を考察した．簡易的な数値解析ではあるが，プラズマ領域は希薄波に対応することが確認され，本研究の根幹となる予想に確信が得られている．
さらに，複数種類のイオンに対するモデル方程式を解析して，一般化されたBohm条件の数学的正当化を行った．より正確には，一般化されたBohm条件は，定常解が存在して漸近安定であるための十分条件であることを示した．これは，研究の着想時には予想していなかった新しい成果である．
以上より，おおむね順調に進展していると判断できる．
|
| 今後の研究の推進方策 |
昨年度に引き続き，プラズマ中に単一種類の正イオンのみが存在する場合をモデルした偏微分方程式に対して，その時間大域解は時間経過とともに，定常解と希薄波とよばれる特殊な解の重ね合わせに漸近するという命題を証明することが目標となる．この証明は，スペクトル解析による解の各点評価と，定常解の安定性解析で使用した空間方向に重み関数を付けたソボレフ空間を使用する手法を組み合わせて行う．
また，半導体の放物・楕円型連立系モデルも解析する．密度の正値性及び，エネルギー形式を用いた積分量の評価よりアプリオリ評価を導き，時間大域可解性と定常解の安定性を示す．さらに，この研究成果を踏まえて, より困難な双曲・楕円型連立系モデルに対して長方形領域上で定常解の安定性解析に取り組む．その際，偶関数拡張や奇関数拡張を用いて，長方形領域の問題を帯状領域上の問題に帰着することが証明の鍵となろう．
|
| 次年度の研究費の使用計画 |
大学業務の都合のため, 予定していた国際研究集会に参加できなく，昨年度からの繰越金が生じている．この繰越金分を含めて，次年度の研究費の使用計画を述べる.
単一種類の正イオンが存在するプラズマのモデル方程式の解の漸近挙動に関する問題を解決するため, Renjun Duan氏(香港中文大学)と意見交換を行う．同氏は，プラズマの運動を記述するNavier-Stokes-Poisson方程式やVlasov-Poisson-Boltzmann方程式の専門家であり, 有意義な意見交換が期待される．また，半導体の放物・楕円型連立系モデル及び, 双曲・楕円型連立系モデルに対して時間大域解を構成する際には, エネルギー形式を用いた積分量の評価からアプリオリ評価を導く必要があり, エネルギー形式を用いた数学解析の大家である松村昭孝教授(大阪大学)のもとを訪問して助言を乞う. こうした研究交流のために，旅費を計上する．
これまでに得られた研究成果を日本数学会などの会議で発表する予定であり, そのための出張旅費が必要となる．また，毎年発刊される関連図書の充実は研究課題の解決に不可欠であり，それらの図書を適時補充する.
|
