| 研究課題/領域番号 |
23740125
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| 研究機関 | 東京農工大学 |
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研究代表者 |
村田 実貴生 東京農工大学, 工学(系)研究科(研究院), 講師 (60447365)
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| キーワード | 関数方程式 / 解析学 |
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| 研究概要 |
自身が開発した微分方程式を元にセル・オートマトンを構成する方法を用いて研究を行った。その方法は1階の微分方程式や反応拡散方程式に適用でき、多成分や多変数の方程式への適用も可能である。1成分の双安定な反応拡散系であるアレン・カーン方程式の空間多次元の方程式については、1次元のときと異なり任意速度の安定な進行波が存在することが知られており、同様の進行波解がこの手法で構成されたセル・オートマトンモデルに存在するかを調べた。その結果、セル・オートマトンモデルにもアレン・カーン方程式と同じような形状を持つ任意速度の安定な進行波解が存在することが分かった。更に、元の微分方程式では導出が困難な厳密な解の表示も得た。また、微分方程式とセル・オートマトンの間には差分方程式モデルが存在するが、そのモデルにも任意速度の安定な進行波解が存在することを数値計算により確かめた。このことは開発したセル・オートマトン化を行う方法が、元の微分方程式の性質を保存するものであることを示している。
微分方程式、差分方程式、超離散方程式の３種類の関数方程式に対応関係をつけて、それらを総合的に解析するための手法を確立することが研究の目的である。今年度の実績は、空間多次元のアレン・カーン方程式という具体例に対して、対応する３種類の関数方程式を構成し、厳密解の構成や数値シミュレーションにより同様の定性的な性質を有していることを確認したことになる。
目的とする手法の確立のためには、現状では具体例における成功例を多く獲得することが重要と考える。したがって、空間多次元のアレン・カーン方程式の研究における今年度の実績は今後の進展に向けても重要な結果である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
1階の微分方程式や反応拡散方程式に対して、それと同様の性質をもつと考えられる超離散方程式やセル・オートマトンを構成する系統的な手法を確立した。特に反応拡散系の代表的なモデルであるアレン・カーン方程式とグレイスコットモデルに対してセル・オートマトンモデルと差分方程式モデルで同様の解が存在することを厳密解の構成や数値シミュレーションの結果から確認した。
微分方程式、超離散方程式、差分方程式の３種類の関数方程式を総合的に解析する手法を確立することが研究の目的であるので、それを実証するための成果を現在までにおおむね順調に獲得しているといえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
現在までに得られた結果を基にして、他の重要な微分方程式、例えば時間遅れの項が含まれる微分方程式モデルを元に新しい差分方程式とセル・オートマトンモデルを構成する。それらの数値計算を実行することにより、またセル・オートマトンモデルについては厳密な解の表示を構成することにより、元の微分方程式の性質を保持しているかを検証する。
また、逆超離散化と呼ばれる超離散方程式やセル・オートマトンから差分方程式を構成する手法が存在するが、その手法が解の性質を保持するためには超離散方程式やセル・オートマトンの解が安定性を有することが重要であることが分かったので、この結果を利用してセル・オートマトンから微分方程式を構成する手法を確立する。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
今年度中に予定していた一部の出張を取りやめることになったために次年度使用額が生じた。この研究費も含めて次年度の使用計画をたてる。
他の研究者との研究討論を行う、研究の推進に必要な分野の研究集会に参加する、これまでの研究成果の発表を行うという目的のため、セル・オートマトン、数理モデル、反応拡散系、数値計算の各研究者の所在地と研究集会開催地への出張に旅費を使用する。研究対象の方程式の厳密解が得られない場合は計算機により数値解を得る必要があるが、それにはより速い、より正確な計算を行うような計算機環境を構築する必要がある。そのための計算機関連製品の購入に物品費を使用する。また、セル・オートマトン、数理モデル、反応拡散系、数値計算の各分野の知識を得る目的のため、それらの専門図書の購入に物品費を使用する。
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