変分的手法による非線型楕円型方程式の研究

2014 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 23740130
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 平田 潤 早稲田大学, 理工学術院, その他 (10580483)
• 研究期間 (年度): 2011-04-28 – 2016-03-31
• キーワード: 変分法 / 微分方程式

研究実績の概要

変分的なアプローチを用いての非線型楕円型方程式の研究を行った。とくに非線型シュレディンガー方程式の定常問題に代表されるようなタイプの方程式について、非自明解の存在問題および解の構造などを調べた。
本研究では主に、方程式が空間変数に依存する場合について研究を行っている。方程式が空間変数に依存しない場合には、Berestycki-Lions などの先行研究において、非自明解が存在するためのほとんど必要十分条件が知られている。一方で方程式が空間変数に依存する場合、わずかな摂動に対しても方程式の非自明解の存在問題が大きな影響を受けることが知られており、方程式が空間変数に依存しない場合に比べて非常にデリケートな扱いが必要となる。このため、一般的な状況の下での非自明解の存在問題はまだ詳しく調べられていない。
とりわけ、変分的な手法を用いる際には、汎関数のエネルギー評価の部分に大きく影響が出てくる。本研究では汎関数のエネルギー評価を行う際に、既存の研究とは異なる path を構築し、精密なエネルギー評価を与えることによって、今までの研究では扱えなかった種類の、より一般的な方程式に対しても非自明解の存在を示すことに成功している。
またこの手法は変分的なアプローチを考える上で自然な path を用いたものであり、より広範囲の問題に応用できることが期待できるため、とくに特異摂動問題やシステムなどの問題に応用することを目指し、研究をすすめている。

現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

非線型楕円型方程式の非自明解の存在問題において、方程式が空間変数に依存する場合には、非常にデリケートな扱いを要する。本研究では解の存在を示すのに重要となる汎関数のエネルギー評価において、既存の研究とは異なる新たな手法を提示することで、この問題を解決している。
この手法では、大域的な仮定(対称性やポテンシャル値の制限など)を課すことなくエネルギー評価を与えるものであり、既存の結果を大きく拡張するものである。このため適用できる方程式の種類が広く、当初の計画に比べて広範囲に渡って研究が必要となり、よりよい結果が見込めるものの、特異摂動問題などの応用について若干の遅れが出ている。

今後の研究の推進方策

非線型楕円型方程式の非自明解の存在問題について、これまでの研究に基づき、研究結果をまとめていく。また、これらの結果をもとに、特異摂動問題やシステムの問題などの応用問題にも取り組んでいく。
とくに応用上では数値計算などが必要となってくるため、高性能のコンピュータなどを用いてこれらの解析も進めていく。

次年度使用額が生じた理由

当初の計画では、非線型楕円型方程式の非自明解の存在問題および、その応用となる特異摂動問題などの研究を行うことを計画していた。非自明解の存在問題を研究を進めていくにあたり、より広範囲な方程式に適用できることが分かり、解析する方程式の幅が広がったことで、特異摂動問題などの研究の着手が先送りとなり、その研究に必要な経費を次年度に繰り越すこととなった。

次年度使用額の使用計画

当初の計画どおり、特異摂動問題などの研究に必要な経費に用いる。具体的には、数値計算ができるコンピュータの購入、研究集会への出席、研究者との打ち合わせ、および書籍の購入などを計画している。