| 研究課題/領域番号 |
23740131
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| 研究機関 | 京都産業大学 |
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研究代表者 |
渡辺 達也 京都産業大学, 理学部, 准教授 (60549749)
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| キーワード | 大域解析学 / 関数方程式論 / 変分法 / 準線形方程式 |
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| 研究概要 |
本研究では、プラズマ物理学においてsuperfluid film方程式として導出される準線形シュレディンガー方程式において、定常問題として得られる準線形楕円型方程式の解構造（一意性・多重性・形状・漸近的プロファイルなど）を解析した。今年度の具体的な研究実績は以下の通りである。
パラメータが十分小さい場合の漸近的性質：本研究では摂動法を用いて、パラメータが十分小さい場合のエネルギー最小解の一意性・非退化性についての結果を得た。昨年度発表した足達慎二氏（静岡大学）との共同研究では、非線形項の指数に制限が必要であったが、今年度の研究によって制限を外すことができた。また、エネルギー最小解の変分的特徴付けをうまく用いることで、Allen-Cahn型や指数型など、広いクラスの非線形項に対するエネルギー最小解の漸近的性質を統一的に扱うことができる結果を得た。
当研究内容は足達慎二氏・柴田将敬氏（東京工業大学）との共同研究として、『Asymptotic behavior of positive solutions for a class of quasilinear elliptic equations with general nonlinearities』、『Asymptotic behavior of positive solutions for a class of quasilinear elliptic equations in Ｒ＾２』の題名で学術雑誌に投稿中であり、後者の論文については学術雑誌「Funkcialaj Ekvacioj」に掲載が決定した。
また、本研究結果について国内外の研究集会で口頭発表を行ったところ、様々な研究者から好感触を得た。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の全体的な目標は、定常問題である準線形楕円型方程式のエネルギー最小解の一意性・多重性について、指数・パラメータによる分類を行うことであるが、今年度の研究によってパラメータが十分小さい場合の一意性・非退化性に関する余分な制限が外れ、統一的な結果を得ることができた。研究計画は順調に達成されていると考えている。
助成金についても、計画通り使用できた。今年度はアメリカ数学会主催の国際会議”9-th AIMS International Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications"に参加し、成果発表を行うと同時に様々な研究者と交流を図ることができた。さらに、昨年度の実施状況報告書で述べた通り、柴田将敬氏との共同研究を新たに開始することができた。また、今年度も細野雄三氏・栁下浩紀氏（京都産業大学）と共同で、ＫＳＵ非線形解析セミナーを京都産業大学にて開催し、情報収集・意見交換を行うことができた。
以上の理由により、研究計画はおおむね順調に進展していると考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度までに得られた結果を下に、中間範囲における解の一意性・多重性を分岐理論もしくは写像度を用いて解析し、全体的な解構造の分類を行う。さらに指数がソボレフ優臨界の場合の漸近挙動を明らかにし、解の一意性・多重性・非退化性を得ることを第二の目標とする。また、本研究で現れる双対変分構造を与える変換の数学的意味付けを探る。具体的には、一般の準線形楕円型方程式に対し、微分項にどういった構造があれば本研究で現れるような双対変分構造が得られるかを考察し、同時に解の正則性と変換可能性との関連等も考察する。さらに、変換による線形化作用素のスペクトルの関係を考察する。
今後も前年度に引き続き、足達慎二氏・柴田将敬氏を研究協力者として研究を行う。本研究を推進するため、研究協力者と定期的に研究打ち合せを行う。さらに、必要に応じて、日本国内における楕円型方程式の爆発解析の第一人者である高橋太氏（大阪市立大学）や、シュレディンガー方程式の安定性解析の第一人者である太田雅人氏（東京理科大学）らと積極的に議論を交わし、有益な助言を得たいと考えている。
また、国内の研究集会に積極的に参加し、様々な研究者と積極的に情報交換を行う。同時に、前年度と同様にＫＳＵ非線形解析セミナーを主催し、情報収集および共同研究のきっかけを作っていきたい。
申請者は本研究だけでなく、波動方程式の周期解に対する変分法的アプローチに関する研究も行っている。波動方程式とシュレディンガー方程式には共通して適用できるテクニックがあり、波動方程式の研究を行うことは本研究で扱っているシュレディンガー方程式の定常解の時間発展を考察する際にも有用と考えられる。したがって、必要に応じて本研究と波動方程式の研究を同時進行させたいと考えている。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
該当なし
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