研究概要 |
反応拡散方程式のパターンの伝播に関する研究について,近年外来生物種の侵入のモデルを自由境界問題として定式化しその解の漸近挙動を調べる研究が活発化しつつあり, 進行波を基にした現在までの研究と密接に関連を保ちながら異なる側面を見せている。このことを受け,平成23年度後半にこの自由境界問題とそれに関連する文献調査,情報収集を行った。平成24年度はこの生物外来種の侵略問題に端を発する自由境界問題について取り組んだ。 具体的には,非線形項がロジスティック方程式のみであったこの自由境界問題において,単安定,双安定,燃焼問題に表れる燃焼型と3つのタイプの非線形項に対し,統一的な視点から漸近挙動を調べた研究についての情報を集め, その結果において, 自由境界を表す関数が無限大に発散する場合,自由境界の進行速度(spreading speed)に関する詳しい評価と解の時間無限大での形状が,非線形項のみから定まる関数に近づくことを証明することができた。この研究において,自由境界問題に対応した優解・劣解の構成方法と漸近挙動を詳細に調べるために放物型偏微分方程式の正則性理論を使うことが鍵であった。この研究を行うに当たり,この自由境界問題を専門とする研究者を別予算で長期滞在する機会を得たため,予定を大幅に変更し, 平成24年度に交付された予算を次年度に繰り越すことになった。平成25年度はこの長期滞在中に行った研究において新たに生じた未解決問題に取り組む予定である。具体的には(1)空間多次元(球対称)の問題,(2)2種競争系におけるspreading speedの決定,(3)帯状領域おけるパターンの空間伝播を表すStefan問題である。
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