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今年度行った研究の一つは、非線形シュレディンガー方程式の散乱問題についてである。これまでに``mountain pass structure”と呼ばれる構造がある非線形項に対しては、爆発する解と散乱する解が存在することが分かっていたが、そのような構造を持たない場合、解の挙動はどうなるのか？という問題を考えた。そこで、方程式に付随するある汎関数を導入し、その汎関数が全ての関数に対して非負となるような非線形項の場合を考察した。この場合は、初期値をどのようにとっても、そこから出発する解は時間大域的に存在し、散乱することが分かった。同様の結果は既に知られているが、既存の結果よりも一般的な非線形項の条件で証明出来たと思われる。
次に、有界領域上における非線形シュレディンガー方程式の定在波解の安定性について考察した。これまでは非線形項が吸引的べき剰型のものを考えたが、今年度は非線形項が反発的な場合を考えた。このときは方程式に対応する汎関数のglobal minimizerとなる定在波解が存在することが分かった。この事実とconcentration-compactnessの議論を組み合わせることで、得られた定在波解は安定となることが分かった。吸引的な場合は、非線形項の指数や振動数によって安定・不安定が変わるが、反発的な場合は、global minimizerとなるような定在波が存在すれば、すべて安定となる。
また、ソボレフ超臨界の非線形項を持つ非線形楕円型方程式の特異解についても解析した。ソボレフ劣臨界の場合とは異なり、ソボレフ超臨界のときには原点で発散するような解が存在し、そのような解が一意的であることが分かっていた。今年度はその証明を改善し、簡略することが出来た。このことを論文としてまとめ投稿し、受理された。この結果を基に楕円型方程式の解の分岐構造を調べることが今後の課題である。
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