| 研究実績の概要 |
研究代表者は四元数ケーラー多様体上のベクトル場に対し, ディラック作用に付随する微分作用素を導入し, ツイスター空間のデルバー作用素に対応することを示した。これによりツイスター空間の正則（多重）ベクトル場に対応する（多重）ベクトル場を四元数ケーラー多様体上に導入し、四元数（多重）ベクトル場と定めた。この対応はそれらを集めた空間の同型を引き起こし、更にそれぞれの空間に入る自然な実構造を保つ。また、括弧積を入れることによりリー環の構造が導入され、この同型は次数付きリー環としての同型となる。この結果（新田貴士氏との共同研究）をまとめた論文のPublications of Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto Universityへの掲載が決定した。これらのリー環は四元数構造の無限小変形と関係しており、その消滅や次元を調べることが四元数構造がどのくらい変形・存在するかといった研究につながっている。特に四元数ベクトル場のなすリー環は四元数多様体の自己同型群のリー環である。更に二次の多重ベクトル場の重要な対象であるポワソン構造について、リー環の同型はツイスター空間の正則ポワソン構造と四元数ケーラー多様体上のある括弧積が消えている二次の多重ベクトル場が対応することを意味しており、四元数的ポワソン構造の導入やその研究にも発展が期待できる。また、これらのリー環の同型の結果について新田貴士との打ち合わせを数回行い、四元数ケーラー多様体から四元数多様体の可能性も見出した。
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