不変式論的観点からの複素鏡映群の平坦構造の研究

2023 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 23K03099
• 研究機関: 東京電機大学
• 研究代表者: 三鍋 聡司 東京電機大学, 工学部, 教授 (30455688)
• 研究期間 (年度): 2023-04-01 – 2028-03-31
• キーワード: 鏡映群 / 平坦構造 / 不変式

研究実績の概要

実ベクトル空間のある超平面を点ごとに固定するような位数２の線型変換を実鏡映と呼び、実鏡映で生成される群を実鏡映群と呼ぶ。有限実鏡映群の軌道空間上には、フロベニウス多様体構造と呼ばれるある種の自然な平坦構造が存在する。近年、この結果が有限複素鏡映群の場合にも拡張され、有限複素鏡映群の軌道空間上にもある種の自然な平坦構造が存在することが示された。本課題では、不変式論的な観点からこの平坦構造の研究を行なっている。鍵となるのは、佐竹によって導入された不変式環の「良い生成系」の概念である。本研究の最初の目標は「良い生成系」によって上記の平坦構造が一意的に定まることを示すことであった。この点について、小西氏との共同研究で肯定的に解決することが出来た。具体的には、双対性群というクラスの有限複素鏡映群の軌道空間上の自然な平坦構造が、佐竹の「良い生成系」によって再構成されることを示した。より詳しく述べると、不変式環の「良い生成系」を用いて、平坦構造を定めるポテンシャル・ベクトル場を表す多項式達を具体的に求めた。さらに、実鏡映群の場合には、平坦構造のポテンシャル関数を「良い生成系」を用いて明示的に与えた。以上の結果をまとめた論文は、現在投稿中である。また、双対性群とその部分群の間に良い関係がある場合に、両者の不変式の「良い生成系」の間にある種のリダクションの関係があることも分かった。これについては現在論文を準備中である。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

研究計画の第１目標が達成されているため、概ね順調であるといえる。

今後の研究の推進方策

不変式論的観点から導入された「良い生成系」をより幾何学的に理解する。最終的には、アフィン鏡映群といった無限群の場合にも「良い生成系」の概念を拡張し、それによる平坦構造の特徴付けを与えたい。様々な鏡映群に対して、不変式環の「良い生成系」という観点からの平坦構造の統一的構成法の確立を目指す。

次年度使用額が生じた理由

２コマ分のバイアウトの使用を予定していたが１コマ分しか依頼できなかったため、次年度使用額が生じた。次年度使用分は物品費等として使用する予定である。