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2023 年度 実施状況報告書

転送作用素の固有空間摂動解析による準安定状態検出問題の研究

研究課題

研究課題/領域番号 23K03134
研究機関鳴門教育大学

研究代表者

田中 晴喜  鳴門教育大学, 大学院学校教育研究科, 准教授 (60648567)

研究期間 (年度) 2023-04-01 – 2027-03-31
キーワード転送作用素 / 擬コンパクト / 準安定系 / 反復関数系 / 漸近摂動 / ビリヤード力学系
研究実績の概要

令和5年度前半は,本研究課題の基礎理論構築のための研究を行った.具体的には,可算状態をもつマルコフシフトにおいて,2-シリンダーの和集合をホール(hole)にもつような転送作用素の擬コンパクト性と周辺固有値の固有空間の詳細構造について調べ結果を論文として発表した([T. '24 出版予定]).特に,閉システム(ホールを開ける前のシステム)は位相推移的であり,オープンシステム(ホールを開けたシステム)は可算個の推移的コンポーネントをもつような設定をしている.これは将来,可算状態をもつ摂動マルコフシステムを考えるうえで,任意の推移確率を0にもっていけるような設定を可能にする重要なポイントである.令和5年度後半は,将来適用できるような応用問題として,無限グラフ構造をもつ反復関数系と可算個の障害物をもつ食をもたないビリヤード力学系について考察した.無限グラフ構造をもつ反復関数系については,縮小写像が定義される空間の一般化と次元公式の考察,共形性を仮定しない場合の次元の漸近挙動,及び,次元を漸近展開した場合の係数の統計的性質を調べるための基礎研究など,多角的な研究をおこない成果発表をおこなった(計8件の発表).加えて,可算個の強連結成分に分裂するような摂動グラフ反復関数系の次元の挙動について研究を行いプレプリントを作成した.ビリヤード力学系については,可算状態をもつマルコフシフトとの1対1の関連付けについてと,ゼータ関数のオイラー表示について研究を行い,研究集会「ランダム力学系とエルゴード理論」での報告及び論文発表[T. '24 出版予定]をおこなった.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本研究課題の基礎理論構築のために必要となる可算マルコフシフトのホール(hole)と結びつく転送作用素のスペクトル構造について調べ,おおむねよい結果が得られたこと,及び,無限グラフ構造をもつ反復関数系が可算個の強連結成分に分裂するような摂動の定式化と次元の連続性が得られプレプリント「Perturbed infinite graph-directed iterated function systems with degeneration」を作成できたため.

今後の研究の推進方策

過去に与えた有限状態をもつ摂動マルコフシステムに関する結果[T. '20]を可算状態をもつ場合に一般化し,Gibbs測度の収束性及び最大固有値の周辺にある固有値のスペクトル構造についての考察をおこなう.その際,有限状態の場合では起こらなかった困難な問題がありそれに対処する必要がある.具体的には,有限状態の場合には摂動のパラメータを十分小さくすれば各準安定系が安定系に近づくが,可算無限状態をもつ場合は準安定系内に任意に小さい遷移確率があるため,いくら摂動パラメータを小さくとっても準安定系が安定系に近づかない問題が起こり得る.有限状態の場合と同様の結果を得るためには記号構造とポテンシャルに何等かの強い条件を課す必要があるが,そのための研究を行う.これらの研究に並行して,応用に関係する研究を令和5年度から引き続きおこなう.得られた結果の発表と論文作成をおこなう.

次年度使用額が生じた理由

物品価格と旅費が想定とは異なったため次年度使用が多少生じたが,基本的には計画通りである.

  • 研究成果

    (13件)

すべて 2024 2023

すべて 雑誌論文 (4件) (うちオープンアクセス 1件、 査読あり 2件) 学会発表 (9件) (うち国際学会 1件、 招待講演 1件)

  • [雑誌論文] Higher-order asymptotic behaviours of pressure functionals and statistical representations of the coefficients2024

    • 著者名/発表者名
      田中晴喜
    • 雑誌名

      日本数学会 2024年度日本数学会年会,統計数学分科会講演アブストラクト

      巻: - ページ: 59-60

  • [雑誌論文] Quasi-compactness of transfer operators for topological Markov shifts with holes2024

    • 著者名/発表者名
      Haruyoshi Tanaka
    • 雑誌名

      Discrete and Continuous Dynamical Systems (to appear)

      巻: - ページ: -

    • DOI

      10.3934/dcds.2024035

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Billiards with countably many scatterers under no eclipse2024

    • 著者名/発表者名
      Haruyoshi Tanaka
    • 雑誌名

      Fundamenta Mathematicae (to appear)

      巻: - ページ: -

    • DOI

      10.4064/fm230728-23-1

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Asymptotic behaviours of thermodynamic quantities in perturbed graph directed Markov systems2023

    • 著者名/発表者名
      Haruyoshi Tanaka
    • 雑誌名

      RIMS Kokyuroku "Perspectives of studies on random/non-autonomous dynamical systems: theory and applications"

      巻: 2270 ページ: 34-46

    • オープンアクセス
  • [学会発表] Higher-order asymptotic behaviours of pressure functionals and statistical representations of the coefficients2024

    • 著者名/発表者名
      田中晴喜
    • 学会等名
      令和5年度日本数学会中国・四国支部例会
  • [学会発表] Higher-order asymptotic behaviours of pressure functionals and statistical representations of the coefficients2024

    • 著者名/発表者名
      田中晴喜
    • 学会等名
      Workshop"数論とエルゴード理論"
  • [学会発表] Quasi-compactness of transfer operators for topological Markov shifts with holes and some applications2024

    • 著者名/発表者名
      田中晴喜
    • 学会等名
      研究集会"力学系とエルゴード理論"erat
  • [学会発表] Higher-order asymptotic behaviours of pressure functionals and statistical representations of the coefficients2024

    • 著者名/発表者名
      田中晴喜
    • 学会等名
      2024年 日本数学会年会
  • [学会発表] グラフ構造をもつ反復関数系の漸近摂動とその応用その22023

    • 著者名/発表者名
      田中晴喜
    • 学会等名
      広島確率論・力学系セミナー
  • [学会発表] On dimension estimates in graph iterated function systems on quasi-Banach spaces2023

    • 著者名/発表者名
      田中晴喜
    • 学会等名
      広島確率論・力学系セミナー --Wakayama One day Workshop--
  • [学会発表] Dimension estimates in nonconformal graph directed iterated function systems via asymptotic perturbation2023

    • 著者名/発表者名
      Haruyoshi Tanaka
    • 学会等名
      国際研究集会”XLIII Dynamics Days Europe"
    • 国際学会
  • [学会発表] Higher-order asymptotic behaviours of pressure functionals and statistical representations of the coefficients2023

    • 著者名/発表者名
      田中晴喜
    • 学会等名
      2023 年度エルゴード理論研究集会
  • [学会発表] On dimension estimates in graph iterated function systems on quasi-normed spaces2023

    • 著者名/発表者名
      田中晴喜
    • 学会等名
      OCAMI 数論・力学系セミナー
    • 招待講演

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公開日: 2024-12-25  

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