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2023 年度 実施状況報告書

長距離相互作用飛躍型無限粒子系の極限定理:長時間挙動と普遍性

研究課題

研究課題/領域番号 23K03158
研究機関福岡大学

研究代表者

江崎 翔太  福岡大学, 理学部, 助教 (40784533)

研究期間 (年度) 2023-04-01 – 2028-03-31
キーワード長距離相互作用粒子系 / 非エルミート行列値ブラウン運動 / オーバーラップ行列 / Gromovのピラミッド / 測度距離幾何学 / 一般化コーシー分布 / tamed Dirichlet space
研究実績の概要

今年度は、エルミート行列値ブラウン運動(HBM)と、各成分が独立な複素ブラウン運動で与えられる非エルミート行列値ブラウン運動(nHBM)の補完である1パラメータ付き行列値過程に対する固有値・固有ベクトル過程について研究した。この固有値過程は長距離相互作用系であり、一般にDyson模型のような特異なドリフト項をもつ確率微分方程式の解として表現されることを示した。また、その確率微分方程式は上述のパラメータを用いて記述され、パラメータをある値とすることにより、従来知られていたHBM、nHBMの固有値過程と両立的であることを示した。さらに、付随するオーバーラップ行列の各成分が従う確率微分方程式を与え、固有値の経験分布過程等が従う確率偏微分方程式を導出した。本研究は、香取眞理氏(中央大学)と藪奥哲史氏(北九州高専)と共同で実施した研究であり、現在論文投稿準備中である。強干渉飛躍系への測度距離幾何学的研究を目標に、数川大輔氏(九州大学)、三石史人氏(福岡大学)と共同で測度距離空間と集中現象に関して研究した。まず、Gromovの意味でのピラミッドに対する不変量を研究し、仮想的無限次元ガウス空間と仮想的無限次元立方体の区別を行った。この成果をまとめた論文が Advances in Mathematics に掲載された。また、一般化コーシー分布の、次元を無限大に発散させる極限に付随する集中現象を研究した。この成果は論文としてまとめられ、現在投稿準備中である。さらに、桑江一洋氏(福岡大学)とZi Jian Xu氏(福岡大学)と共同で、超関数的なリッチ曲率の下限によるtamed Dirichlet spaceに対するLittlewood-Paley-Steinの不等式の確立とRiesz変換の有界性について研究した。本成果は2つの論文としてまとめられ、現在査読中である。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

当初の目的である「Ginibre 干渉安定過程系のタグ付け粒子」と「格子上の長距離相互作用系全体のスケーリング極限」に関する極限定理に対しての直接的進展を与えることはできていないが、関連研究である、ランダム行列理論、測度距離幾何学、tamed Dirichlet spaceに関連する確率解析学の研究それぞれに対して進展を与え、論文としてまとめることができたため、順調に進展していると判断する。

今後の研究の推進方策

今後は今年度得た研究結果と指針をもとに、当初の目的である「Ginibre 干渉安定過程系のタグ付け粒子」と「格子上の長距離相互作用系全体のスケーリング極限」に関する極限定理の研究を進める。タグ付け粒子の極限定理に関しては、Ginibre干渉ブラウン粒子系の結果が詳細に進められている現状があるため、その理論を応用できるかについて考察する。また、測度距離幾何学の方面から、格子上の長距離相互作用系全体のスケーリング極限を求めることも検討する。さらに、今年度に引き続いてランダム行列理論、測度距離幾何学、tamed Dirichlet spaceに関連する確率解析学の研究それぞれについて、さらに研究を進める。

次年度使用額が生じた理由

当該年度における旅費を安く抑えることができたため、次年度使用額が生じた。次年度は、その使用額を用いて、コンピュータ等の機器を購入し、数値解析等に役立てる予定である。

  • 研究成果

    (7件)

すべて 2024 2023

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (6件) (うち国際学会 3件、 招待講演 5件)

  • [雑誌論文] Invariants for Gromov's pyramids and their applications2024

    • 著者名/発表者名
      Esaki Syota、Kazukawa Daisuke、Mitsuishi Ayato
    • 雑誌名

      Advances in Mathematics

      巻: 442 ページ: 109583~109583

    • DOI

      10.1016/j.aim.2024.109583

    • 査読あり
  • [学会発表] Eigenvalues of the non-Hermitian matrix-valued stochastic processes and related topics2023

    • 著者名/発表者名
      Syota Esaki and Satoshi Yabuoku
    • 学会等名
      Non-Commutative Probability Theory, Random Matrix Theory and their Applications
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Eigenvalues, eigenvector-overlaps, and regularized Fuglede-Kadison determinant of the non-Hermitian matrix-valued stochastic processes2023

    • 著者名/発表者名
      Syota Esaki
    • 学会等名
      The 21th Stochastic Analysis on Large Scale Interacting Systems
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Stochastic Differential Equations of eigenvalues, eigenvectors and overlaps of non-Hermitian matrix-valued Brownian motion2023

    • 著者名/発表者名
      Syota Esaki
    • 学会等名
      Random Matrices and Applications
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 測度集中と高次元一般化コーシー分布への応用2023

    • 著者名/発表者名
      江崎 翔太
    • 学会等名
      2023年度確率論シンポジウム
  • [学会発表] 測度集中と高次元一般化コーシー分布への応用2023

    • 著者名/発表者名
      江崎 翔太
    • 学会等名
      Dirichlet Forms and Related Topics
    • 招待講演
  • [学会発表] Representation formula of eigenvalues, eigenvectors and overlaps of non-Hermitian matrix-valued Brownian motion2023

    • 著者名/発表者名
      江崎 翔太
    • 学会等名
      名古屋確率論セミナー
    • 招待講演

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公開日: 2024-12-25  

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